Kombinatorikas elementi
LIIS ietvaros kombinatorikā ir izstrādāti vairāki mācību līdzekļi, kas noteikti ir ieteicamākie un noderīgākie, apgūstot šīs tēmas. Tie ir:
MĀCĪBU LĪDZEKLIS VIDUSSKOLĀM KOMBINATORIKĀ, kura autors ir Guntis Vasiļevskis. Šis materiāls ir vienkāršākais un saprotamākais, ieteicams, kad sāk apgūt kombinatoriku.
Uzklikšķinot, jūs nokļūsiet lapā, kur ir tikai virsraksts. Tālāko var lasīt, spiežot uz "Nākamais" jau atvērtas lapas aušējā vai apakšējā stūrī. Ja interesē konkrēta nodaļa, neveriet vaļā LIIS materiālu, bet sameklējiet to zemāk šajā lapā un uzklikšķiniet tur.
Lai jūs varētu redzēt nākošo materiālu, jums vajadzīgs Adobe Acrobat Reader. Ja jums tā nav, labāk ejiet uz lapu KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI, no kuras var gan "atsūknēt" Adobe Acrobat Reader, gan atvērt mācību materiālu, gan aiziet uz ftp serveri, ja ir vēlēšanās materiālu saspiestā veidā dabūt uz sava datora un skatīties tad.
KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI, kura autors ir Jānis Cīrulis. Šis materiāls satur ne tikai nodaļas kombinatorikā, bet arī varbūtību teorijā un ir domāts vidusskolas profilkursam.
Tajā jūs varat atrast gan skaidrojumus ar piemēriem, gan uzdevumu risināšanas paraugus, gan arī formulu kopsavilkumu. Tas noder tikpat labi mācoties kombinatoriku, kā arī varbūtību teorijas jautājumus, kas paredzēti vidusskolas profilkursā.
Uzdevumi kombinatorikā , kura autors ir Andris Ambainis. Šeit var atrast grūtākus uzdevumus, kas tiek lietoti, gatavojoties olimpiādēm.
Uzdevumi ir grupēti pēc tēmām un risinājumu idejām, atrisinājumi ir doti konspektīvi un tikai daļai no tiem. Beigās var atrast literatūras sarakstu. Materiāls aptver arī tēmas, ko skolā nemāca. Iesaku šo materiālu paskatīties arī tad, ja netaisāties kandidēt uz Latvijas izlasi, tomēr sākt vajadzētu ar kādu no iepriekšējiem.
Tālāk seko šie un pasaules serveros atrodamie materiāli, grupēti pēc "Vidusskolas
algebras kursa informatīvi didaktiskās apdares" iedalījuma. Tie, kas nav LIIS materiāli, pārsvarā ir angliski.
Beigās ir apskatāmi nedalīti materiāli kombinatorikā.
1.1. REIZINĀŠANAS UN SASKAITĪŠANAS LIKUMS
Labākais, protams ir mācību līdzeklis, kas veidots LIIS ietvaros un ir latviešu valodā.
- 1. KOMBINATORIKAS REIZINĀŠANAS LIKUMS
Materiāls satur piemērus, kā arī teorēmas ar pierādījumiem. Uzdevumu risinājumi ir ar attēliem padarīti uzskatāmāki.
-
Uzdevumi.
Šī lapa satur 32 uzdevumus bez atrisinājumiem.
-
2. KOMBINATORIKAS SASKAITĪŠANAS LIKUMS
Līdzīgi kā par kombinatorikas reizināšanas likumu, arī šajā nodaļā izklāsts balstīts uz piemēriem, kas ir risināti un satur arī teorēmas formulējumu.
-
Uzdevumi.
Šajā lapā ir 6 uzdevumi bez atrisinājumiem, kurus risinot jāizmanto saskaitīšanas likums.
-
KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI
Šī materiāla 7. - 9. lappusēs (jāaizlec uz materiāla 14.- 16. lpp., jo pirmās 7 ievadlapas nav numurētas) ir ar pāris piemēriem paskaidrots, kā darbojas saskaitīšanas un reizināšanas likumi, kā arī dotas definīcijas.
-
Some Counting Methods
Ar piemēriem par ēdienu pasūtīšanu ilustrēti saskaitīšanas un reizināšanas likumi. Daudz teksta, nav attēlu.
- S.A. Genkins, I.V. Stenbergs, D.V. Fomins. Grāmata "Matemātikas pulciņš" I gads.
Krievu valodā.
Šai adresē nodaļa - "Kombinatorika". Doti 44 uzdevumi (No tiem 44 atrisināti).
1.2. VARIĀCIJAS UN PERMUTĀCIJAS
Arī šajā nodaļā vērtīgākais materiāls ir mācību līdzeklis, kas veidots LIIS ietvaros un ir latviešu valodā.
- 3.1. Variācijas
Izklāsts balstīts uz piemēriem, kas ir risināti. Materiāls satur arī definīviju un teorēmu ar pierādījumu.
-
Uzdevumi.
Šajā lapā ir 9 uzdevumi bez atrisinājumiem. Tos risinot, jāizmanto variācijas.
- 3.2. PERMUTĀCIJAS
Izklāsts balstīts uz piemēriem, kas ir risināti. Materiāls satur arī definīciju un teorēmu ar pierādījumu.
-
Uzdevumi.
Šajā lapā ir 8 uzdevumi bez atrisinājumiem. Tos risinot, jāizmanto permutācijas.
-
3.3. PERMUTĀCIJAS AR ATKĀRTOJUMIEM
Pāris piemēri, definīcija un teorēmas par permutācijām ar atkārtojumiem.
-
Uzdevumi.
4 uzdevumi bez atrisinājumiem, kurus risinot jāizmanto permutācijas ar atkārtojumiem.
-
3.4. Variācijas ar atkārtojumiem
Piemērs, definīcija un teorēma par variācijām ar atkārtojumiem.
-
Uzdevumi.
6 uzdevumi bez atrisinājumiem, kurus risinot jāizmanto variācijas ar atkārtojumiem.
-
Dažādi uzdevumi par variācijām un permutācijām.
11 uzdevumi bez atrisinājumiem.
-
KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI
Šī materiāla 9. - 24. lappusēs (jāaizlec uz materiāla 16.- 31. lpp., jo pirmās 7 ievadlapas nav numurētas) ir izskaidroti dažādu izlašu veidošanas principi un kombinatorikas pamatskaitļi. Ir piemēri un precīzas definīcijas.
- Information on Permutations
Teorētisks materiāls ar ilustrācijām par permutācijām. Ir norādes uz vairākām citām adresēm, kur atrodami dažādi interaktīvi materiāli, kas palīdz apgūt permutācijas.
- Generate Permutations
Permutāciju ģenerators. Dotam n, kas mazāks par 20, ģenerē permutācijas. Izdod tikai pirmos 200 elementus, līdz ar to lieliem n neizdod visus. Iespējams izvēlēties permutācijas kā skaitļus rindā vai karaļu attēlus uz šaha galdiņa.
- Information on Permutations of a Multiset
Teorētisks materiāls ar piemēriem par permutācijām. Ir norādes uz vairākām citām adresēm, kur atrodami dažādi materiāli, kas palīdz apgūt permutācijas.
- Generate Permutations of a Multiset
Permutāciju ģenerators. Izvēlētiem ne vairāk kā 20 elementiem, kuri var būt ne vairāk kā 5 atšķirīgu tipu, ģenerē permutācijas ar atkārtojumiem. Izdod tikai pirmos 200 elementus, līdz ar to lieliem n neizdod visus. Iespējams izvēlēties permutāciju elementus kā simbolus vai krāsainas bumbiņas.
- The Bells Applet: Change Ringing on the Web
Sava veida permutāciju ģenerators. To īsti var izbaudīt tikai, ja datoram ir viss aprīkojums, lai klausītos mūziku. Tad var dzirdēt, kā tiek spēlēti 8 zvaniņi atšķirīgā kārtībā. Katram zvaniņam atbilst skaitlis no 1 līdz 8, attiecīgā variācija tiek arī ar cipariem uzrakstīta. Noņemot ķeksīti pie kāda no stabiņā izvietotajiem burtiem, var panākt, ka kāds no zvaniņiem neskan. Var regulēt arī atskaņošanas ātrumu, toņkārtu u. c.
- Thoughts on teaching Permutations, Combinations and the Binomial theorem
Teorētisks materiāls par permutācijām, kombinācijām un binomiālajiem koeficientiem. Materiāls satur tekstu, nepārskatāmas formulas un pa piemēram katrai tēmai.
- Counting problems
Ļoti īss un koncentrēts teorētisks materiāls par variācijām, permutācijām, kombinācijām, binomiālajiem koeficientiem un permutācijām un kombinācijām ar atkārtojumiem. Materiāls satur īsus paskaidrojumus un formulas.
- Problems about Counting
Neliels daudzums uzdevumu, kuru risināšanā jāizmanto permutācijas vai kombinācijas. Uzdevumi ir grupēti divos līmeņos, tiem ir īsi atrisinājumi.
- Adventure Games, Permutations, and Spreadsheets
Permutāciju lietojumi konkrētu spēļu analīzē. Šie permutāciju lietojumi nav vienkārši, bet var būt interesanti. Ir aprakstīts, kā šos uzdevumus var risināt ar Excel palīdzību.
- Circular Permutations
Neliels teorētisks materiāls ar ilustratīvu piemēru par uzdevumiem, kuros jāaprēķina sakārtojumu skaits, kad objekti atrodas pa apli.
- Arranging Items When Repetition is Allowed
Materiāls par permutācijām ar atkārtojumiem - pāris izanalizēti uzdevumi. Ir vēl papildus uzdevumi bez atrisinājumiem, tajos jāizmanto arī kombinācijas.
- S.A. Genkins, I.V. Stenbergs, D.V. Fomins. Grāmata "Matemātikas pulciņš" II gads.
Krievu valodā.
Šai adresē nodaļa - "Kombinatorika 2.". Doti 63 uzdevumi (No tiem 62 atrisināti).
Še ietilpst "Savienojumu skaits.", "Paskala trijstūris.", "Lodes un šķēršļi." "Papilduzdevumi.".
1.3. KOMBINĀCIJAS.
-
4.1. KOMBINĀCIJAS BEZ ATKĀRTOJUMIEM.
Piemēri, definīcija, teorēma. Labākais par šo tēmu, jo ir latviski, skaidri, uzskatāmi.
-
Uzdevumi.
21 uzdevums bez atrisinājumiem. Tos risinot, jāizmanto kombinācijas.
-
4.2. Kombinācijas ar atkārtojumiem
Piemēri, definīcija, teorēma. Labākais par šo tēmu, jo ir latviski, skaidri, uzskatāmi, ar attēliem.
-
Uzdevumi.
2 uzdevumi bez atrisinājumiem. Tos risinot, jāizmanto kombinācijas ar atkārtojumiem.
-
KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI
Šī materiāla 9. - 24. lappusēs (jāaizlec uz materiāla 16.- 31. lpp., jo pirmās 7 ievadlapas nav numurētas) ir izskaidroti dažādu izlašu veidošanas principi un kombinatorikas pamatskaitļi. Ir piemēri un precīzas definīcijas.
- Information on Combinations of a Set
Teorētisks materiāls ar piemēriem, vēsturisku apskatu un saitēm uz citām adresēm par kombinācijām.
- Generate Combinations
Kombināciju ģenerators. Dotiem n un k, kas mazāki par 20, ģenerē kombinācijas. Izdod tikai pirmos 200 elementus, līdz ar to ne vienmēr izdod visus. Iespējams izvēlēties kombinācijas kā binārus skaitļus vai apakškopas no skaitļiem ni 1 līdz n.
- Thoughts on teaching Permutations, Combinations and the Binomial theorem
Teorētisks materiāls par permutācijām, kombinācijām un binomiālajiem koeficientiem. Materiāls satur tekstu, nepārskatāmas formulas un pa piemēram katrai tēmai.
- Counting problems
Ļoti īss un koncentrēts teorētisks materiāls par variācijām, permutācijām, kombinācijām, binomiālajiem koeficientiem un permutācijām un kombinācijām ar atkārtojumiem. Materiāls satur īsus paskaidrojumus un formulas.
- Problems about Counting
Neliels daudzums uzdevumu, kuru risināšanā jāizmanto permutācijas vai kombinācijas. Uzdevumi ir grupēti divos līmeņos, tiem ir īsi atrisinājumi.
- Combinations
Analizējot uzdevumu par kārtīm, ieviests kombināciju jēdziens un skaita aprēķināšanas formula.
- Test #1
Uzdevumi, kuru risināšanā jāizmanto permutācijas un kombinācijas. Šo uzdevumu atrisinājumi.
- Test #2
Uzdevumi, kuru risināšanā jāizmanto permutācijas un kombinācijas. Šo uzdevumu atrisinājumi.
- Sheet #5
Teksta uzdevumi, kuru risināšanā jāizmanto permutācijas un kombinācijas. Šo uzdevumu atrisinājumi.
- Test #3
Uzdevumi, kuru risināšanā jāizmanto permutācijas un kombinācijas. Šo uzdevumu atrisinājumi.
- How Many Different Paths?
Ideja diskrētās matemātikas stundai: skolēniem dots uzdevums saskaitīt, cik veidos var izlasīt vārdu "hearts", kur katrs burts ir savā rindiņā, pirmajā rindā tikai viens h, otrajā rindā divi e, trešjā rindā trīs a, utt. Šo uzdevumu varētu izveidot ar kādu latviešu vārdu un izmantot.
- S.A. Genkins, I.V. Stenbergs, D.V. Fomins. Grāmata "Matemātikas pulciņš" II gads.
Krievu valodā.
Šai adresē nodaļa - "Kombinatorika 2.". Doti 63 uzdevumi (No tiem 62 atrisināti).
Še ietilpst "Savienojumu skaits.", "Paskala trijstūris.", "Lodes un šķēršļi." "Papilduzdevumi.".
1.4. ŅŪTONA BINOMS.
1.5. BINOMIĀLO KOEFICIENTU ĪPAŠĪBAS.
-
5.DAŽAS KOMBINĀCIJU SKAITA ĪPAŠĪBAS
Teorēmas ar pierādījumiem, ilustrētas ar piemēriem.
-
Uzdevumi.
12 uzdevumi bez atrisinājumiem. Tos risinot, jāizmanto kombināciju skaita īpašības.
-
Uzdevumi kombinatorikā
Krietni grūtāki uzdevumi, starp kuriem ir arī par kombinācijām un to skaitu. Dažiem ir arī atrisinājumi vai risinājuma ideja.
- Thoughts on teaching Permutations, Combinations and the Binomial theorem
Teorētisks materiāls par permutācijām, kombinācijām un binomiālajiem koeficientiem. Materiāls satur tekstu, nepārskatāmas formulas un pa piemēram katrai tēmai.
- Counting problems
Ļoti īss un koncentrēts teorētisks materiāls par variācijām, permutācijām, kombinācijām, binomiālajiem koeficientiem un permutācijām un kombinācijām ar atkārtojumiem. Materiāls satur īsus paskaidrojumus un formulas.
Nedalīti materiāli
-
Information on Subsets of a Set
Ļoti labs materiāls diskrētajā matemātikā. Tajā ir 9 nodaļas, katrā no tām ir teorētisks materiāls saprotamā valodā un objektu ģenerators, kam var uzrādīt dažādus parametrus. Ir sekojošas nodaļas:
- apakškopas
- kombinācijas
- permutācijas
- 8 dāmu uzdevums
- pentamino
- permutācijas ar atkārtojumiem
- skaitļu sadalījumi
- Fibonači virknes
- maģiskie kvadrāti
- Combinatorics Topics for K-8 Teachers
Mācību materiāls kombinatorikā. Patiesībā tas domāts studentiem, bet ir ļoti labi izstrādāts, tāpēc domāju, ka var izmantot profilkursā mācot kombinatorikas elementus. Materiāls ir sadalīts pa nodarbībām un norādītajā adresē atrodas visu nodarbību saraksts ar tajās aplūkotajām tēmām. Ja uzklikšķināsiet uz izvēlētās nodarbības datuma, redzēsiet pašu materiālu. Dažām nodarbībām ir arī mājas vai kontroldarbu uzdevumi, kuriem var paskatīties atrisinājumus.
- S.A. Genkins, I.V. Stenbergs, D.V. Fomins. Grāmata "Matemātikas pulciņš" I gads.
Krievu valodā.
Šai adresē nodaļa - "Kombinatorika". Doti 44 uzdevumi (No tiem 44 atrisināti).
Atpakaļ uz Latvijas vidusskolas matemātikas kursa iedalījumu.
Uz ievada lapu.