XXV Testi matemātikā.
I
The Living Mathematics Project
Šajā adresē var atrast daudzas Kanādas autoru izstrādnes, kas domātas, lai padarītu interesantāku matemātikas mācīšanos. Tāpat ir atrodamas arī citas interaktīvo materiālu adreses. Šeit apskatīšu tuvāk Kanādas autoru darbus:
- Copycat
Interesanta spēle, kas palīdz iepazīt ģeometriskus ķermeņus un attīsta telpisko domāšanu. Ir ļoti viegli varianti un visai sarežģīti arī. Var izvēlēties kubu, oktaedru, nošķeltu oktaedru vai piramīdas fragmentu ar dažādi apzīmētam skaldnēm. To var grozīt, veļot vienā no diviem iespējamiem virzieniem. Ir jāsaliek dotais attēls ar iespējami maz gājieniem. Var būt arī jāsaliek spoguļattēls.
- Fourier Series
Demonstrācija, kas ilustrē funkciju attēlošanu ar Furjē rindām. Skolniekiem par sarežģītu, pie tam ir tikai 2 funkcijas un maz iespēju darboties.
- Pythagoras' Theorem
Pitagora teorēmas pierādījums ar laukumiem multiplikācijas veidā. Var izvēlēties taisnleņķa trijstūri (Aiz sarkanā punta kustinot, var mainīt trijstūra izmērus, tomēr šī procedūra darbojas slikti), un tad pa soļiem, spiežot "next", skatīties pierādījumu. Lai to saprastu, jāzina, ka trijstūra virsotni pārbīdot pa pamatam paralēlu taisni, augstums (un tātad arī laukums) nemainās. Man patika.
- Function Plotter
Programma ļauj ievadīt funkciju un uzzīmē tās grafiku. Bez tam, ja ievada skaitļus vēl divos baltos lodziņos, tā izdrukā Teilora polinomu attiecīgajai funkcijai (teikts, ka arī uzzīmē). Ja tajos neievada neko, pelēkajā lodziņā ir redzams Jūsu ievadītās funkcijas atvasinājums. Jābūt ļoti rūpīgam, ievadot funkciju - katra darbība jāliek iekavās (piemēram 2x-3 ir jāpieraksta (x*2)-3, citādi tiek ziņots par kļūdu). Lai nodzēstu pēdējo zīmēto grafiku, ir jāspiež "Pop", lai nodzēstu visu iepriekš sazīmēto, jāspiež "Clear", citādi jaunais grafiks tiek zīmēts, nedzēšot iepriekšējo. Tas ļauj redzēt reizē vairākus grafikus. Sākotnēji uz x ass ir atliktas vienības no -3,14 līdz 3,14 un uz y ass no -2 līdz 2. Sākumā ir uzzīmēts y=cos(x) grafiks. Skalu var mainīt, ja, turot taustiņu "Shift" klikšķina uz grafika - vienas vienības izmērs samazinās, līdz ar to ļaujot redzēt punktus, kam koordinātas ir lielāki skaitļi. Ja klikšķināsiet uz grafika, turot taustiņu "Ctrl", tad notiek pretējs process - vienības izmērs palielinās. Svarīga ir arī vieta, kur klikšķina: ja to dara tuvu koordinātu sākumpunktam, tad tas paliek ekrāna centrā. Ja klikšķina vienā grafika malā, tad grafiks pabīdās, ļaujot Jums redzēt labāk to sānu, uz kura uzklikšķinājāt. Šādi rīkojoties var panākt, ka viena no asīm nemaz nav redzama, bet uz otras redzamības apgabalā ir tikai skaitļi no 4098 līdz 4099. (Saprotams, ka tādos apstākļos savu grafiku varat arī neredzēt). Tad var līdzēt pārlūkprogrammas poga "Reload", pēc kuras nospiešanas var sagaidīt atkal sākotnējo kosinusa grafiku. Prātīgi rīkojoties, šī ir laba programma funkciju grafiku apskatīšanai. - Solution Finder
Programma, kas paredzēta, lai atrisinātu vienādojumu f(x)=0. Līdzīgi kā iepriekšējā, tā zīmē grafiku funkcijai un ir vēl kaprīzāka par iepriekšējo. (Man neizraisīja nekādas simpātijas).
- Complex Functions
Kompleksa mainīga funkciju attēlošana. Darbojas normāli, bet skolnieki jau nevar saprast jēgu.
Ir vēl daži materiāli, kas skolniekiem nav teorētiski saprotami un tāpēc no tiem maza jēga, kaut arī darbojas labi.
II
Polyominoes for Java 1.0d5
Vairākas interaktīvas spēles ar polimono. Jāsaliek laukums, kas lielāks par visu polimono kopējo laukumu. Vienā no spēlēm spēlētājs liek vienu kauliņu, dators - otru. Dators cenšās panākt, lai spēlētājs nevarētu izdarīt savu gājienu - nebūtu, vairs kur likt pēdējo spēlētāja kauliņu.
III
"Dzīvie" zīmējumi planimetrijas nodaļai.
Dažādi planimetrijas uzdevumi, kam pieejami interaktīvi zīmējumi, ar kuru palīdzību var izpētīt uzdevumu un pārliecināties par fakta pareizību, pirms cenšas to pierādīt.
IV
http://www.ies.co.jp/math/java/geojava.html
Liels daudzums dažādu interaktīvu programmu par dažādām tēmām. Ir gan ģeometrija, gan kompleksie skaitļi, gan atvasinājumu, robežu un integrāļu vizualizācija, gan arī trigonometrija un vektori. Katra no izvēlnēm satur vairākus uzdevumus. Izvēloties konkrēto uzdevumu, atrod lapu, kas sastāv no formulām, īsa apraksta kā darbināt interaktīvo programmu un pašas lietotnes. Bieži teorēmām doti arī pierādījumi, līdz ar to tas ir korekts un labi izstrādāts materiāls.
- Trigonometry
Trigonometrija. Ir iespēja izvēlēties ko tuvāk skatīsies: kādu no trigonometriskajām funkcijām, dažāda veida trigonometrisko funkciju grafikus, vienādojumus sinusu vai kosinusu teorēmu vai kādu citu no pavisam 25 iespējām. Katrā no tām var izlasīt ļoti īsus teorētiskus paskaidrojumus (trigonometriskām funkcijām teorijas nav, citur ir tikai definīciju līmenī) un praktiski redzēt kā nolasāmas trigonometrisko funkciju vērtības, kā veidojas grafiki, kā redzēt vienādojuma vai nevienādības atrisinājumu kopu. Tuvākus apskatus šīm programmiņām varat atrast nodaļā par trigonometriskajām funkcijām: par to grafikiem, vērtībām, vienādojumiem vai nevienādībām.
- Vector
Var apskatīt gan, kā veidojas vektoru summa, vektoru skalārais reizinājums, gan arī dažādas ģeometrijas teorēmas: Čevas teorēmu, Menelāja teorēmu, Eilera taisni, utt. Pavisam 29 dažādas programmiņas.
- Middle School ( Geometry)
Interaktīvās programmas par dažādām tēmām, ko sastop skolas ģeometrijas kursā: leņķiem, paralēlām taisnēm, trijstūriem, četrstūriem, laukumiem, līdzīgām figūrām, riņķiem, Pitagora teorēmu u.c. Ir tādas, kas ilustrē teorēmas, kā arī tādas, kas palīdz atrisināt konkrētu uzdevumu.
- Calculus
Interaktīvas programmas par vairākām matemātiskās analīzes tēmām: robežām, skaitli e, atvasinājumiem, integrāļu ģeometrisko interpretāciju, rotācijas ķermeņa tilpumu utt. Pavisam 64 programmiņas.
- Complex number
Dažādas interaktīvas programmas par kompleksajiem skaitļiem: gan ļoti vienkāršas, gan sarežģītas. Pavisam 23 programmas.
- Conics
Dažādas interaktīvas programmas par koniskajiem šķēlumiem. Pavisam 9 programmiņas.
- Miscellaneous
39 dažādas interaktīvas programmas. Galvenokārt par funkcijām, arī dažādām koordinātu sistēmām, fraktāļi, spēle "Dzīve", u.c.
V
Daudzas interaktīvas lietotnes ir atrodamas no adreses http://links.math.rpi.edu/webhtml/appletlibrary.html. Tās ir ne tikai par matemātiku, bet arī fiziku un ķīmiju, diemžēl daudzas no tām nedarbojas. Tās patiesībā nav domātas skolēniem, tāpēc var šķist pārāk sarežģītas.
VI
JAVA and Other Interactive WWW Pages
Šeit ir saraksts ar materiāliem, kur ir iespējas izmantot JAVA un citas interaktīvas lappuses. No šīs vietas atradīsiet daudz interaktīvo materiālu.
VII
Games and Puzzles
Dažādas spēles un mīklas interaktīvā režīmā. Visas tās ir matemātiskas un daudzas interesantas. Bieži vien aiz spēles ir izstāstīta uzvarošā stratēģija.
Geometry Page
Dažādi ģeometrijas uzdevumi ar atrisinājumiem. Lielai daļai no tiem pieejami interaktīvi zīmējumi, ar kuru palīdzību var izpētīt uzdevumu un pārliecināties par fakta pareizību, pirms cenšas to pierādīt. Ir arī korekti pierādījumi. Lielisks materiāls!
Arithmetic and Algebra
Liels daudzums aritmētikas un algebras uzdevumu. Daudziem arī interaktīvas ilustrācijas.
VIII
GoMath
Plašs materiāls matemātikas apgūšanai interaktīvā veidā. Latviešu skolniekiem traucējošs varētu būt bagātīgais teksts, kas jāsaprot, lai varētu arī kaut ko parēķināt. Skolotājiem tas varētu būt ideju avots - varbūt kaut ko tādu var izveidot latviski.
Ne visus materiālus katrs var redzēt - daļai vajag piereģistrēties. Interaktīvie materiāli dažādu aprēķinu veikšanai - tādi kā kalkulatori. Lietotājam jāizrēķina un jāievada atbilde, kam var redzēt novērtējumu - vai ir pareizi un pareizo risinājumu.
Algebra Solution Dažādi materiāli aritmētikā un algebrā (no skaitļu saskaitīšanas līdz vienādojumiem, nevienādībām, varbūtībām, u.c.)
Geometry Solution Dažādi materiāli ģeometrijā - aprēķinu uzdevumi gan planimetrijā, gan stereometrijā.
Jāatzīmē, ka ir iespējams redzēt gan formulas, gan risinājumu.
IX
JavaSketchpad Demo Gallery
Dažādu ģeometrisku jēdzienu, konstrukciju, teorēmu dinamiski maināmas ilustrācijas. Nekādu pierādījumu nav, bieži nav arī dziļu paskaidrojumu, bet materiāls labi lietojams kā uzskates līdzeklis. Daļu no tiem var uzrvert kā skaistas bildītes, bez dziļas ģeometriskas jēgas.
X
Kali
Šis materiāls satur interesantu programmiņu, kas ļauj zīmēt simetriskas figūras un plakni pārklājošus attēlus ar simetrijas palīdzību. Šajā lapā var atrast aprakstu un darbināšanas instrukcijas, kā arī iespēju "atpumpēt" programmu uz sava datora. Ja gribat uzreiz paspēlēties ar programmu, vajag uzspiest uz
Run the program .
XI
The Geometry Applet
Kustināms attēls: iespējas redzēt ikosaedru dažādos novietojumos, to grozīt. Tas ir kā ilustrācija Eiklīda Elementu 13. grāmatas 16. apgalvojumam, ko var arī izlasīt. Ir norādes, ar kuru palīdzību var pāriet uz lapām, kas satur citu materiālu no Eiklīda Elementiem. Var apskatīt arī interaktīvo lietotni par tēmu Eilera taisne.
XII
Plane Vectors I
Lietotne vektoru apgūšanai. Iespēja redzēt, kā mainās vienāds vektors, pretēji vērsts vektors ar tādu pašu garumu kā dotais, vektors, kas vienāds ar dotā vektora reizinājumu ar skaitli, divu vektoru summa, starpība un skalārais reizinājums, ja maina dotos vektorus. Ļoti uzskatāmi.
XIII
Education Java Programs
Šī lapa satur daudzas tiešā režīma programmiņas par fraktāļu veidošanu un ne tikai to. - Universālākā no tām ir L-System Based Fractals, kas zīmē 11 veidu fraktāļus. Uzspiežot uz lietotnes apakšā redzamās pogas TYPE, var izvēlēties kādu no sekojošiem fraktāļiem:
- Koha līkne
- Koha sniegpārsliņa
- Hilberta līkne
- Serpinska trijstūris
- pūķa līkne
- kāpnes
- Peano līkne
- Peano Gospera līkne
- 1. krūms
- 2. krūms
- 3. krūms
Spiežot uz melnā trijstūrīša ar virsotni pa labi, tiek parādīts attiecīgā fraktāļa attēls ar nākošo iterāciju. Iterāciju skaits ir redzams.
- Programma The Patterns Java Program ļauj veidot attēlus trīsstūru režģī ar regulāru trīsstūru un sešstūru, vienādsānu trapeču un rombu palīdzību. Tā domāta, lai apgūtu dažādas formas, kā arī mācītos darbības ar daļskaitļiem.
- Līdzīga iepriekšējai ir Base 10 Blocks Java Program. Tajā notiek darbošanās ar maziem kvadrātiņiem, kurus var apvienot taisnstūrī ar 10 kvadrātiņiem (1x10) un kvadrātā 10x10. Lielākās figūras var saskaldīt mazākās, visas var pārbīdīt un grozīt. Programma galvenokārt domāta aritmētikas mācīšanai, kaur gan var lietot arī citādi.
- The Koch Curve Fractal. Šī programmiņa demonstrē tikai vienu no fraktāļu veidiem - Koha līknes fraktāli.
- The Sierpinski Triangle FractalArī šī programmiņa demonstrē tikai vienu no fraktāļu veidiem - Serpinska trijstūra fraktāli.
- The Dragon Curve or Jurassic Park FractalArī šī programmiņa demonstrē tikai vienu no fraktāļu veidiem - Juras laika parka fraktāli.
XVIII
Webmath
Patīkams materiāls, kas satur lielu daudzumu dažāda veida interaktīvu programmu. Galvenokārt tās ir kalkulatora tipa programmas, kas katra rēķina kādu noteiktu lietotāja iedotu uzdevumu. Tomēr visas tās atrisinājumus rāda ļoti detalizēti pa soļiem, tāpēc var noderēt mācoties konkrēto matemātikas tēmu. Ir arī tādas, kuras speciāli domātas, lai iemācītos veikt konkrēto darbību. Tikai teksts ir angliski, tāpēc nez vai mūsu skolēniem tās der labāk nekā tās, kas rāda tikai formulas. Skolotājiem esot iespējams izveidot skolēniem domātus tiešā režīma testus webmath serverī, ja aiziet uz adresi Quiz center. Tomēr tas ir pietiekoši sarežģīti, tur nav iespējas testu saglabāt uz sava datora, tāpēc laikam labāk ir izmantot citas iespējas, kas pieejamas tepat Latvijā.
Var izvēlēties programmu alfabētisko sarakstu vai kādu no piedāvātām nodaļām. Programmiņas ir sašķirotas pa sekojošām nodaļām:
- PRE - ALGEBRA
Pamatskolas matemātika, kura ietver tēmas par veseliem skaitļiem un daļskaitļiem. No šīs lapas var izvēlēties sekojošas interaktīvas programmiņas:
-
Long division
Divu skaitļu dalīšana ar atlikumu. Šai programmiņai gan ir visai īpatnējs
pieraksts, jo dalītājs ir jāraksta lodziņā pa kreisi, bet dalāmais - pa
labi. Parasti taču dara otrādi!
-
Factors
Interaktīva programmiņa, kas uzrāda ievadītā skaitļa dalītājus. Ja
tās pirmajā lodziņā izvēlas "Prime", var iegūt skaitļa pirmreizinātājus,
bet, ja izvēlas "All", tad tiks uzrādīti visi dalītāji. Ievadītajam skaitlim nevar būt vairāk kā 5 cipari.
-
Greatest Common Factor
Interaktīva programmiņa, kas uzrāda ievadīto skaitļu lielāko kopīgo
dalītāju. Visus skaitļus ievada vienā lodziņā, atdalot ar komatiem.
-
Least Common Multiple
Mazākā kopīgā dalāmā atrašana. Visus skaitļus ievada vienā lodziņā,
atdalot ar komatiem.
-
Pronouncing Numbers
Programmiņa, kas ar cipariem uzrakstītam skaitlim parāda tā vārdisko pierakstu. Šī laikam vairāk noderētu, apgūstot angļu valodu :-)
- Converting a decimal into a fraction , kas pārveido decimāldaļskaitli parastā daļskaitlī. Ja grib pārvērst periodisku decimāldaļskaitli, tad periods vienkārši jāuzraksta vismaz 2 reizes.
- Converting a fraction into a decimal , kas pārveido daļskaitli par decimāldaļskaitli. Ir jāuzrāda, cik ciparu aiz komata grib redzēt. Atrisinājumā dalīšanas izteiksmes pieraksts ir visai īpatnējs, jo dalītājs tiek rakstīts pa kreisi no dalāmā. Beigās ir iespēja paskatīties, kā pareizi angliski nosauc iegūto rezultātu.
Tālākās trīs interaktīvas programmas ir paredzētas, lai apgūtu darbības ar skaitļiem, kas pierakstīti tādā formā kā piemēram 3,45×104:
- Converting to and from scientific notation
Šeit ir divas lietotnes, no kurām pirmā pārveido skaitli no normālformas uz parastu pierakstu, bet otrā - no parasta pieraksta normālformā.
- Multiply using Scientific Notation
Paredzēta skaitļu reizināšanai. Ir divas lietotnes - vienā abi skaitļi ir normālformā, bet otrā - tikai viens no tiem.
- Dividing numbers involving scientific notation
Skaitļu dalīšana normālformā. Šeit ir trīs lietotnes, no kurām pirmajā abi skaitļi paredzēti normālformā, otrajā - tikai dalāmais, bet trešajā - tikai dalītājs.
- Reducing a fraction to lowest terms
Programmiņa, kas māca saīsināt daļskaitļus, atrodot skaitītāja un saucēja lielāko kopīgo dalītāju.
- Adding two fractions
Programmiņas daļskaitļu saskaitīšanai. Šajā lapā ir trīs formas: vienā saskaita parastus daļskaitļus, otrajā jauktu daļskaitli ar parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu formu.
- Subtracting two fractions
Programmiņas daļskaitļu atņemšanai. Šajā lapā ir trīs formas: vienā atņem parastus daļskaitļus, otrā - no jaukta daļskaitļa parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu formu.
- Multiplying two fractions
Programmiņas daļskaitļu reizināšanai. Šajā lapā ir trīs kolonnas: vienā reizina parastus daļskaitļus, otrajā jauktu daļskaitli ar parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu kolonnu.
- Dividing two fractions
Programmiņas daļskaitļu dalīšanai. Šajā lapā ir trīs kolonnas: vienā dala parastus daļskaitļus, otrajā jauktu daļskaitli ar parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu kolonnu.
- Converting between improper fractions and mixed numbers, or the other way around.
Šī programmiņa pārveido neīstu daļskaitli jauktā skaitlī un otrādi. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu formu.
- ALGEBRA I&II
Nodaļa, kura ietver izteiksmju vienkāršošanu, polinomus, nevienādības, funkciju grafikus, vienādojumu risināšanu, kompleksus skaitļus, teksta uzdevumus, koniskos šķēlumus, u.c. No šīs lapas var izvēlēties sekojošas interaktīvas programmiņas:
Izteiksmju vienkāršošana - virkne interaktīvu programmu,
kas vienkāršo lietotāja ievadīto izteiksmi. Visās
šajās lietotnēs reizināšanas zīmes var
arī nerakstīt tajās vietās, kur tās cilvēki
parasti neraksta - programma spēj saprast, ka 2x ir tas pats, kas
2*x. Visas programmiņas izdod ļoti detalizētus risinājumus,
darbojas pa vienai darbībai. Tas rada to, ka atrisinājums iznāk
ļoti garš. Ja iedod pārāk sarežģītu
uzdevumu, programma var arī ziņot par kļūdām
un brīdināt, ka izdotā atbilde nav pareiza.
-
Simplfiying exponents
Progarmmiņa vienkāršo izteiksmes, kurās ir kāpināšanas
un reizināšanas darbības. Tā spēj izkāpināt
arī polinomu, bet ne augstāk kā piektajā pakāpē.
Izteiksmei ir arī ierobežots simbolu skaits, tā nevar
saturēt vairāk kā 20 simbolus.
-
Simplifying using the distributive
property
Progarmmiņa vienkāršo izteiksmes, kurās ir jāatver
iekavas. Tā spēj tikt galā arī ar kāpināšanu,
bet ne augstāk kā piektajā pakāpē. Izteiksme
nevar saturēt vairāk kā 50 simbolus. Ja risinājumā
parādās "Error", tad uzdevums ir par sarežģītu
un atbilde nav pareiza.
-
Simplfiying by combining
like terms
Progarmmiņa vienkāršo izteiksmes, kurās ir jāsavelk
līdzīgie locekļi.
-
Anything else
Progarmmiņa domāta, lai vienkāršotu tādas
izteiksmes, kuras nav apskatītas iepriekšējās programmiņās.
Tomēr arī šī lietotne netiek galā ar lielām
pakāpēm vai ļoti garām izteiksmēm. Esiet
uzmanīgi! Ja risinājumā parādās vārds
"Error", tad uzdevums ir par sarežģītu un atbilde nav
pareiza!
Programmiņas, kas veic darbības ar polinomiem.
Visām atrisinājums tiek izklāstīts garā veidā, kur vispirms aplūkotas visas kāpināšanas, reizināšanas un saskaitīšanas vau atņemšanas darbības, kas veiktas, lai iegūtu Jūsu ievadītos polinomus. Tikai tad tiek izrēķināts rezultāts. Ievadot polinomus, nav obligāti jāraksta reizināšanas zīme atarp skaitli un burtu vai starp burtiem - tās programmas prot izdonāt pašas. Pakāpes gan jāraksta ar ^ palīdzību.
- Adding and Subtracting Polynomials
Interaktīva programma, kas saskaita vai atņem polinomus. Polinomi jāraksta kā viena izteiksme, kurai tad tiek savilkti līdzīgie locekļi.
- Multiplying Polynomials
Interaktīva programma, kas reizina polinomus.
- Dividing a Polynomial by a monomial
Interaktīva programma, kas dala polinomu ar monomu.
- Dividing two Polynomials
Interaktīva programma, kas dala polinomus.
- Powers of Polynomials
Interaktīva programma, kas kāpina polinomu naturālā pakāpē.
- Completing the square
Interaktīva programma, kas kvadrāttrinomam atdala pilno kvadrātu.
Tālāk seko trīs interaktīvas programmiņas, kas dala reizinātājos polinomus. Tām ir viens trūkums - katram uzdevumam ir gari un manuprāt nevajadzīgi apraksti, kā iegūst polinomu (tādi kā: x^2 nozīmē x kāpināt kvadrātā, iegūst x2, tad ir jāreizina ar 3, iegūst 3x2 utt. ) manuprāt katram jau ierakstot polinomu būtu jābūt skaidram, ko nozīmē kura darbība. Laikam materiāls domāts skolēniem, kam sagādā problēmas darbību kārtība.
- Factoring a Polynomials by finding its GCF (greatest common factor)
Programmiņa, kas prot tikai paņemt pirms iekavām skaitli vai mainīgo. Citādi sadalīt reizinātājos neprot. Tai gan var ievadīt ne tikai polinomu, bet arī izteiksmi, kas satur vairākus mainīgos vai pat funkcijas.
- Factoring the difference between two squares
Programmiņa, kas dala reizinātājos izteiksmi, izmantojot formulu a2-b2=(a-b)(a+b). Ja ir koeficients, no kura nevelkas sakne, tiek rakstīta tās aptuvena vērtība, bet ja ievadīts mainīgais nepāra pakāpē, tad tiek atbildēts, ka pēc šīs formulas sadalīt reizinātājos doto izteiksmi nevar.
- Factoring trinomials
Programmiņa, kas dala reizinātājos kvadrāttrinomu.
Vienādojumu risināšana:
- Solve an linear equation
Tā ir interaktīva programma, kas rēķina tikai lineārus vienādojumus.
- Attempt to solve a quadratic equation by factoring it., kur var ievadīt kvadrātvienādojumu un, ja tam ir racionālas saknes, tad programma atradīs tā atrisinājumu, iepriekš sadalot kvadrāttrinomu reizinātājos.
- Attempt to solve a quadratic equation using the quadratic formula. Te var ievadīt kvadrātvienādojuma koeficientus, un programma vienādojumu atrisinās. Atbilde tiek dota noapaļota līdz 3 cipariem aiz komata. Ja diskriminants negatīvs, tiek pateikts, ka reālu sakņu nav.
- Solve a set of two equations
Šī programma rēķina lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem vienādojumiem. Ir iespējams iegūt tikai atbildi vai arī redzēt ļoti detalizētu risinājuma gaitu.
- Numerically solve an equation of a more advanced nature
Šī programma skaitliski rēķina sarežģītākus vienādojumus, iepriekš prasīts norādīt, kādā intervālā domājams, ka ir sakne.
Divas tiešā režīmā lietojamas programmiņas, kas vienkāršo izteiksmes, kuras satur saknes. Šīm programmiņām raksturīgs ļoti garš atrisinājuma pieraksts, jo tās izanalizē iedoto izteiksmi pa vienai darbībai.
-
Simplifying Square Root Expressions
Programmiņa, kas vienkāršo izteiksmes, kurās ir no monoma vilkta kvadrātsakne. Ja ir divu izteiksmju reizinājums kāpināts lielākā nekā 5. pakāpē, programma ar to netiek galā. Katrs reizinātājs atsevišķi var būt kāpināts arī ļoti lielā pakāpē.
-
Other roots
Programmiņa, kas vienkāršo izteiksmes, kurās ir no monoma vilkta sakne ar saknes rādītāju no 3 līdz 9. Ja ir divu izteiksmju reizinājums kāpināts lielākā nekā 5. pakāpē, programma ar to netiek galā. Katrs reizinātājs atsevišķi var būt kāpināts arī ļoti lielā pakāpē.
Seko dažas lietotnes par kompleksajiem skaitļiem:
-
Adding
Programmiņa, kas saskaita kompleksos skaitļus algebriskā formā.
-
Subtracting
Programmiņa, kas atņem kompleksos skaitļus algebriskā formā.
-
Multiplying
Programmiņa, kas reizina kompleksos skaitļus algebriskā formā.
-
Powers of i
Programmiņa, kas kāpina skaitli i naturālā pakāpē.
-
Anything else
Programmiņa, kas veic saskaitīšanas, reizināšanas un atņemšanas darbības ar kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā.
Nevienādību risināšana:
-
Solving Inequalities
Programmiņa, kas risina lineāras nevienādības. Pieraksts ļoti garš un nepārskatāms.
-
Graphing Inequalities
Programmiņa, kas risina nevienādības grafiski.
Taisnes vienādojums rakstīšana:
-
Slope and y-intercept
Programmiņa, kas uzraksta taisnes vienādojumu, ja ievadīts koeficients pie x un brīvais loceklis. :-)
-
One point and a slope
Programmiņa, kas uzraksta taisnes vienādojumu, ja ievadīts virziena koeficients un 1 punkts uz taisnes.
-
Two points
Programmiņa, kas uzraksta taisnes vienādojumu, ja ievadītas koordinātas 2 punktiem uz taisnes.
Vēl ir programmas, kas zīmē funkciju grafikus, risina teksta uzdevumus.
- Word Problems Dealing with Numbers and Counting
Šis materiāls satur teksta uzdevumus par skaitļiem un skaitīšanu. Tie ir tikai uzdevumu formas bez konkrētiem skaitļiem. Uzklikšķinot uz uzdevuma numura, var atvērt formu, kurā var ierakstīt konkrētus skaitļus un tad iegūt uzdevuma risinājumu - sastādītus vienādojumus. Lai atrisinātu šos vienādojumus, jāizvēlas šo pašu autoru veidota programma vienādojuma vai vienādojumu sistēmas risināšanai. Teksta uzdevumi ir visdažādākie - sākot ar vienkāršiem aritmētikas uzdevumiem, kādus risina pamatskolas jaunākajās klasēs, beidzot ar vienkāršiem skaitļu teorijas uzdevumiem.
-
Simplifying expressions involving trigonometric functions
Progarmmiņa vienkāršo izteiksmes, kurās ir trigonometriskas funkcijas. Principā tā zina formulas un izmanto tās, bet, ja piemērs ir tik sarežģīts, ka tur jāsaskata, ka, piemēram, 2sin2x=sin2x+sin2x, tad tā neprot vienkāršot un apgalvo, ka vienkāršot nevar. Līdzīgi kā visās iepriekšējās šo autoru programmās, arī te tiek pa soļiem analizēts, kā iegūst Jūsu piedāvāto izteiksmi. Tas var palīdzēt skolēnam apgūt darbību kārtību, bet padara atrisinājumu ļoti garu un prasa ilgu laiku vai ātru Interneta pieslēgumu. -
Working with right triangles
Taisnleņķa trijstūra malu un leņķu aprēķināšana, izmantojot Pitagora teorēmu un trigonometriskās funkcijas taisnleņķa trīsstūrī.
Lodziņos jāieraksta zināmie lielumi un vienā, ko grib aprēķināt - jautājuma zīme. Leņķi jāraksta grādos. Šī programma ir viegli piemānāma, jo nepārbauda, vai visi ievadītie lielumi ir saskanīgi, tāpēc neiesaku rakstīt liekus skaitļus. Programma vienlaicīgi prot izrēķināt tikai vienu lielumu. Tā zin, ka hipotenūzai jābūt garākai par kateti, bet nezin, ka trīsstūra leņķu summa ir 180 grādi. Leņķi tā prot izrēķināt tikai, ja ir zināmas divas malas.
XIX
The Magic Square Game
Spēle "Maģiskais kvadrāts". Tiešā režīma programma maģisko kvadrātu veidošanai. Iespējams lietotājam pašam risināt tāda veida uzdevumus vai iegūt datora veidotus maģiskos kvadrātus. Dažādas iespējas variēt šos uzdevumus.
Metric Converter
Garuma, svara temperatūras, tilpuma mērvienību pārveidotājs. Ir ļoti daudz dažādu mērvienību.
XX
LiveGraphics3D Examples
No šīs lapas var atrast vairākus kustināmu objektu piemērus, no kuriem minēšu tikai pāris:
- Two Surfaces
Divas telpiskas virsmas. Var tām likt rotēt, var pakustināt, pagriezt, lai redzētu kādu vēlamu virzienu.
- Two Dodecahedra
Dodekaedri, kuriem var likt rotēt, var pakustināt, pagriezt, lai redzētu kādu vēlamu virzienu.
XXI
Java ... Java ... Java
No šīs lapas var atrast vairākas viena autora Java programmas. Tās visas var iedarbināt no šīs lapas, bet var arī aiziet uz detalizētu aprakstu.
- The Prime Machine
Šajā lapā ir detalizēts apraksts vienai no programmām, kas sadala skaitļus pirmskaitļu reizinājumā vai norāda, ka tas ir pirmskaitlis. No šīs lapas var arī iedarbināt minēto programmu. Jūs varat sarkanajā programmas lodziņā ievadīt kādu skaitli, un zemāk redzēt tā sadalījumu pirmreizinātājos, bet blakus lodziņos - ievadītajam skaitlim tuvākos pirmskaitļus. Programma arī ilustrē teorēmu par pirmskaitļu skaitu no 1 līdz N.
- A simple Logarithm Calculator.
Šajā lapā ir detalizēts apraksts vienai no programmām, kas rēķina pakāpes, saknes un logaritmus. Var izvēlēties, kurš lielums būs konstants, kuru mainīs, un kuru dators aprēķinās. Arī skaitļus var izvēlēties no piedāvātajiem vai palielināt vai samazināt par 1, spiežot uz pogām "+" vai attiecīgi "-".
XXII
WWW Interactive Mathematics Server
No šīs lapas var izvēlēties daudzus interaktīvus materiālus. Liela daļa no tiem ir ļoti interesanti un noderīgi, daži varētu būt skolēniem par sarežģītu, jo to tēmas māca tikai augstskolā. Tuvāk apskatīšu dažus no tiem:
Complex shoot
Interaktīvs materiāls, lai apgūtu komplekso plakni un darbības ar kompleksajiem skaitļiem. Var izvēlēties uzdevuma grūtības pakāpi vai uzdevuma veidu un sērijā piedāvāto uzdevumu skaitu. Uzdevumos ir redzams kompleksā plaknē attēlots skaitlis z un izteiksme skaitļa w iegūšanai (vieglākajos variantos w=z/2 un tamlīdzīgas izteiksmes, bet grūtākajos w=-z2/i un līdzīgas), lietotājam ar peli jāuzklikšķina tajā punktā, kur pēc viņa domām atrodas skaitlis w. Pēc tam tiek parādīts, kur ir pareizā atbilde, kur bija klikšķināts, kā arī kļūda milimetros. Sērijas beigās tiek dots vērtējums.
SQRT shoot
Interaktīvs materiāls, lai apgūtu komplekso plakni un saknes vilkšanu no kompleksajiem skaitļiem. Var izvēlēties uzdevuma grūtības pakāpi. Vieglākās grūtības pakāpes uzdevumos ir jāprot izvilkt kvadrātsakni, attēlā ir redzams vienības riņķis, kas palīdz atrast pareizo skaitļa atrašanās vietu. 3. un 4. līmenī ir jāprot izvilkt kubsakni, 4. līmenī nav uzzīmēts vienības riņķis, tikai atliktas vienības iz asīm. 5. līmenī ir jāvelk 4. pakāpes sakne, bet 6. līmenī - 5. pakāpes sakne. Kad ir uzklikšķināts vienas saknes atrašanās vietā, parādās grafiks, kur šī vieta ir atzīmēta ar krustiņu un ir jāuzklikšķina otras saknes atrašanās vietā. Saprotams, kubsaknei ir jāklikšķina 3 reizes utt. Beigās tiek parādītas visas vietas, kur ir klikšķināts, visas pareizās vērtības un novērtēta atbilde.
Graphic functions
Testi par funkciju grafikiem. Var izvēlēties vienu no piecām iespējām: vai grib apgūt f(-x), -f(x) un tamlīdzīgus grafikus, vai f(2x), 2f(x), f(x/2) un tamlīdzīgus, utt. Tāpat var izvēlēties, cik jautājumu tiks uzdots. Tad jāspiež uz pogas "Go to work" un tiek parādīts F(x) grafiks un 4 grafiki, no kuriem jāizvēlās īstais. Uz tā jāuzklikšķina, pēc brītiņa var redzēt, vai atbilde bijusi pareiza, ja nē - kādas funkcijas grafiks tas bijis īstenībā.
Graphic addition
Testi par funkciju summas un starpības grafikiem.
Līdzīgi kā iepriekš apskatītajā materiālā var izvēlēties, kāda veida uzdevumi tiks apgūti un cik uzdevumi sērijā tiks doti. Pēc tam vienā grafikā ir redzamas funkcijas f(x) un g(x), un doti 6 grafiki, starp kuriem jāatrod, piemēram, f(x)-g(x). Ir arī iespējams domāt, ka starp redzamajiem neviens nav prasītais, un tad ir jāspiež nevis uz kāda grafika, bet speciāli paredzētā vietā.
Epsilon
Interaktīvi uzdevumi, kuros ir atgādināta nepārtrauktības definīcija, dota funkcija, x0 un e
vērtības, un ir jāaprēķina d vērtiba. Sākumā ir iespējams izvēlēties, kādu palīdzību - skaitlisku vai grafisku gribēs, arī to var izmantot. Tad, kad ievadīta atbilde, seko vērtējums.
Coincidence-Polynomial
Programma, kas palīdz apgūt polinomu grafikus. Ir 4 līmeņi, kuros dots funkcijas grafika fragments, un, zinot, ka koeficienti ir veseli skaitļi, jāaprēķina tie. Pirmajā līmenī ir kvadrātiskas funkcijas grafiks, otrajā - kubiskas, trešajā - ceturtās pakāpes, bet ceturtajā - sestās pakāpes. Ja pirmais līmenis ir elementārs un ar to jāprot tikt galā katram skolniekam, tad trešajā un ceturtajā jau nepietiek ar to, ka prot nolasīt vērtības no grafika, bet jāprot atrisināt arī vienādojumu sistēmu. Visos līmeņos ir arī iespējams paskatīties pareizo atbildi. Tiešām laba programma.
Accordance
Programma, kas palīdz apgūt polinomu vērtības. Ir 4 līmeņi, kuros dotas polinoma vērtības dažos punktos. Jānosaka polinoma koeficienti. Ir iespējams, ka tāds polinoms neeksistē, tad tā arī jāatbild. 3. un 4. līmenī ir dotas polinoma dažādu kārtu atvasinājumu vērtības dažos punktos. Kad atbildes ievadītas, dators novērtē to pareizību.
Graphic inverse
Programma, lai apgūtu, kāds izskatās inversās funkcijas grafiks. Sākumā var izvēlēties vienu no 9 līmeņiem. Visos līmeņos ir dots kaut kādas funkcijas grafiks un redzami vēl citi grafiki. Pirmajā līmenī ir jāizvēlas, kurš no 3 dotajiem grafikiem ir inversās funkcijas grafiks. Kad uz tā uzklikšķina, parādās vērtējums un pareizā atbilde, ja ievadītā bijusi nepareiza. Tālākajos līmeņos palielinās grafiku skaits, no kuriem jāizvēlās īstais. Grūtākajā - 9. līmenī jau jāprot ne tikai izvēlēties pareizo no 8 dotajiem grafikiem, bet visiem tiem pierakstīt (izvēlēties no dotajām 8 iespējām), kas tie ir - piemēram - kurš ir f(-x), kurš f^-1(-x), utt. (Inversās funkcijas grafikam jāizvēlās f^-1(x).)
Liela grupa programmu nosaukumā ietver "OEF". Tās satur uzdevumus, kuriem var ierakstīt atbildi un saņemt vērtējumu. Katra ir par vienu tēmu. Dažas te apskatīšu.
OEF proba
Piecu veidu uzdevumi varbūtību teorijā. Var izvēlēties vienu no 5 tēmām, tad mainās tikai skaitļi. Ja sākotnēji tēmu neizvēlās, tiek piedāvāti uzdevumi no visām tēmām. Var izvēlēties, cik uzdevumus vienā sesijā grib. (No 1 līdz 5.) Grūtības pakāpi patiesībā nevar mainīt, kaut arī šķiet, ka tas tiek piedāvāts. Pēc katra uzdevuma tiek pateikts, vai ievadītā atbilde ir pareiza, kā arī dota pareizā atbilde. Sesijas beigās tiek sniegts vērtējums. Atbildi var ievadīt kā decimāldaļskaitli, parasto daļskaitli vai pakāpi, tomēr, ja izteiksme ir sarežģītāka, vajag izrēķināt atbildi un tad ievadīt. Dažās tēmās uzdevumi ir viegli, tikai var gadīties lieli skaitļi, bet, piemēram, uzdevumos par monētu ir jāzina Bernulli formula un jāaprēķina rezultāts. Tātad nebūt ne visi ir galvas uzdevumi.
OEF defining interval
Funkcijas definīcijas apgabala noteikšana. Ir 3 tēmas, ja nevienu neizvēlas, tad uzdevumi tiek piedāvāti no visām. Tēmas ir: kvadrātsakne, tangenss un arksinuss. Jāprot noteikt funkcijas definīcijas apgabalu vai uzrādīt definīcijas apgabala intervālu, kādā atrodas dota tangensa vērtība. Atbildi var pierakstīt arī 8.5*pi, programma tāda veida pierakstu saprot.
Complex No. Applet
Interaktīva programma, ar kuras palīdzību var apgūt komplekso skaitļu attēlošanu plaknē. Lietotnes apakšā ir pogas, atkarībā no tā, kura no tām pēdējā nospiesta, tiek mainīts attēls, kad uzklikšķina uz zīmējuma.
Saskaņā ar Jūsu uzstādītajiem parametriem kreisajā augšējā stūrī ir redzamas A, B un C (ja ir) vērtības, bet zīmējumā - šo punktu atrašanās vieta. Ekrāna labajā malā ir redzamas polārās un Dekarta koordinātas tam punktam, kurā tiek uzklikšķināts ar peli.
XXIII
GRAPHICS FOR THE CALCULUS CLASSROOM
Lapa, no kuras var atrast dažādus interaktīvus materiālus un attēlus, kas var noderēt, mācoties matemātiskās analīzes elementus un dažas ģeometrijas nodaļas. Tālāk būs dotas adreses piekļūšanai konkrētai tēmai.
XXIV
Function Grapher
Interaktīva grafiku veidošanas programma, kas korekti zīmē arī ļoti sarežģītu funkciju grafikus. Funkcijas ir jāraksta lodziņā, kurā ir daudz vietas. Var arī izlaist reizināšanas zīmes tur, kur tās mēdz izlaist, rakstot ar roku. Zem lietotnes ir apraksts, kurā redzami dažādu funkciju apzīmējumi. Trūkums: nevar uzzīmēt citus logaritmus, kā tikai ar bāzi e. Var uzdot minimālo un maksimālo x un y vērtību, kas būs redzama uz asīm, un vai to atzīmēt. Var uzdot ik pa cik vērtībām atzīmēt skaitļus pie x un y ass, kā arī vai tās vispār rādīt. Grafiks tiek rādīts citā logā, pie tā ir pogas, ar kuru palīdzību var mainīt mērogu.
Izmēģinājuma tests matemātikā
Krievu valodā.