Funkcijas robežas jēdziens

Uzspiežot te, varat redzēt, kas jāzin Latvijas skolēniem.
Tālāk seko pasaules serveros atrodamie materiāli, pārsvarā angliski.

Šajā lapā Jūs varat atrast materiālus, kas grupēti pēc "Vidusskolas algebras kursa informatīvi didaktiskās apdares" iedalījuma:

1.1. FUNKCIJAS ROBEŽAS JĒDZIENS
1.2. DIVAS IEVĒROJAMAS ROBEŽAS
1.3. JĒDZIENS PAR FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBU

Pagaidām ne visas "Vidusskolas algebras kursa informatīvi didaktiskās apdares" smalkās nodaļas ir aizpildītas ar meteriāliem, jo tādi nav atrasti. Domājams, ka ar laiku atradīsies arī materiāli tādās nepopulārās nodaļās. Šī materiāla nobeigumā ir minēti pa nodaļām nesadalīti matemātiskās analīzes materiāli, kur var atrast informāciju par robežām. Ja Jums neinteresē kāda ļoti smalka nodaļa, paskatieties to.

1.1. FUNKCIJAS ROBEŽAS JĒDZIENS

1) funkcijas robeža, kad , jēdziens par vienpusējām robežām;

PRECISE LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES A CONSTANT
Īsa teorija un uzdevumi, kuros jāizmanto funkcijas robežas definīcija. Visiem uzdevumiem var paskatīties detalizētus atrisinājumus.
Limits
Nodaļa materiālā par matemātisko analīzi ( Tajā vispār ir atkārtojums par funkcijām, robežās, atvasinājumi). 4 nodaļas par robežas jēdzienu:
Overview
Apskats, kas ir tikai ievads, intuitīvi skaidrots robežas jēdziens pilnīgi bez matemātikas.
Intuitive Limits and Examples
Robežas definīcija intuitīvā līmenī ar konkrētiem piemēriem, zīmējumiem.
Properties of Limits
Robežu īpašības - darbības ar robežām.
Right- and Left-Hand Limits
Vienpusējās robežas. Definīcijas un pāris ilustrēti piemēri.
Formal Definition of Limits
No šīs lapas ir trīs nodaļas, kur ir robežu formālās definīcijas: Košī robežas definīcija, definīcijas vienpusējām robežām.
Estimating Limits Numerically
Ar skaitliskiem piemēriem parādīta robežu aprēķināšana. Ir vingrinājumi testa veidā, bet tiem atbildes var redzēt tikai, ja ir ieiets "rāmju" režīmā, jo tās tiek rādītas citā lodziņā. ("Rāmju" režīmā automātiski ieiet, ja iet caur Limits and Continuity lapu.)
Estimating Limits Graphically
Robežu novērtēšana ar grafiku palīdzību. Ir daudz attēlu un ļoti uzskatāmi ar kustīgu attēlu parādīts, kā tas jādara. Ir vingrinājumi testa veidā, bet tiem atbildes var redzēt tikai, ja ir ieiets "rāmju" režīmā, jo tās tiek rādītas citā lodziņā.
What are Limits?
Ar piemēru skaidrots, kas ir robeža, un robežas definīcija.
LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES A CONSTANT
Uzdevumi par robežām, kad x tiecas uz galīgu skaitli. 14. uzdevumā ir piemēri ar vienpusējām robežām. Visiem uzdevumiem var apskatīties detalizētus atrisinājumus.

2) funkcijas robeža, kad , skaitļu virknes robeža;

Limits at Infinity
No šīs lapas atrodamajās nodaļās ir runa par robežām, kad x tiecas uz bezgalību.
LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES INFINITY
Uzdevumi par robežām, kad x tiecas uz bezgalību. Tiem var paskatīties detalizētus atrisinājumus.

3) bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas funkcijas jēdzieni;

4) pamatteorēmas par funkciju robežām;

Properties of Limits
Robežu īpašības - darbības ar robežām.
The Sandwich Theorem
Šeit ir "Divu policistu" teorēmas formulējums ar ilustrāciju un īsu pamatojumu.
What are the properties of limits?
Robežu īpašības, ilustrētas ar piemēriem.
LIMITS OF FUNCTIONS USING THE SQUEEZE PRINCIPLE
"Divu policistu" teorēma un uzdevumi, kuros to pielieto. Visiem uzdevumiem var paskatīties atrisinājumus. Viens no tiem ir formulas pierādījums.

5) robežas aprēķināšana, nenoteiktības ““ un ““;

Infinite Limits for Rational Functions
Piemēri nenoteiktības ““ novēršanai.
Rational Functions Revisited
Piemēri nenoteiktības ““ novēršanai, šajos piemēros robeža iznāk bezgalība.
Calculating Limits Algebraically
Jēdziens par nepārtrauktību un dažu robežu aprēķināšana nenoteiktības ““ gadījumā.
LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES INFINITY
Uzdevumi par robežām, kad x tiecas uz bezgalību. Liela daļa šo uzdevumu ir robežu aprēķināšana nenoteiktības ““ gadījumā.
SOLUTIONS TO LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES PLUS OR MINUS INFINITY un
SOLUTIONS TO LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES PLUS OR MINUS INFINITY
Šo uzdevumu detalizēti atrisinājumi.

6) monotonas un ierobežotas funkcijas (virknes) robežas eksistence (Veierštrāsa teorēma).

1.2. DIVAS IEVĒROJAMAS ROBEŽAS

1) robeža , jēdziens par ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām;

Important Trig Limit
Pirmā ievērojamā robeža un piemērs tās izmantošanai līdzīgu robežu aprēķināšanā.
Two Trigonometric Limits
Pirmās ievērojamās robežas pierādījums, kā arī vēl vienas citas robežas pierādījums, izmantojot to.
LIMITS OF FUNCTIONS USING THE SQUEEZE PRINCIPLE
"Divu policistu" teorēma un uzdevumi, kuros to pielieto. Visiem uzdevumiem var paskatīties atrisinājumus. Viens no tiem ir formulas pierādījums.

2) robeža , skaitlis e;

Summary of Exponential and Logarithmic Functions
Īss apskats par eksponentfunkciju, pakāpju īpašībām, logaritmiem. Satur formulas un piemērus. Materiāls satur ne tikai pakāpju un logaritmu īpašības, bet arī interaktīvu programmiņu, kas aprēķina (1+1/x)^x

vērtību pie lietotāja ievadītas x vērtības, t. i., ievadot lielus x, iegūst skaitli e. Programmā redzamajā tabulā šīs izteiksmes vērtības pie dažām x vērtībām jau ir izrēķinātas, tāpat ir tekstā redzama e vērtība ar 20 cipariem aiz komata.

3) funkcijas y=e^x un y=lnx, naturālie logaritmi.

1.3. JĒDZIENS PAR FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBU

Calculating Limits Algebraically
Jēdziens par nepārtrauktību un dažu robežu aprēķināšana nenoteiktības “

“ gadījumā.

1) argumenta pieaugums un funkcijas pieaugums;

Epsilon
Interaktīvi uzdevumi, kuros ir atgādināta nepārtrauktības definīcija, dota funkcija, x₀ un e vērtības, un ir jāaprēķina d vērtiba. Sākumā ir iespējams izvēlēties, kādu palīdzību - skaitlisku vai grafisku gribēs, arī to var izmantot. Tad, kad ievadīta atbilde, seko vērtējums.

2) nepārtrauktas funkcijas definīcija un secinājumi no definīcijas;

Testing For Continuity
Nepārtrauktības nosacījumi un piemēri.
CONTINUITY OF FUNCTIONS OF ONE VARIABLE
Nepārtrauktas funkcijas definīcija, īpašības un uzdevumi, kuriem var paskatīties detalizētus atrisinājumus.

3) jēdziens par elementāro funkciju nepārtrauktību;

Some Continuous Functions
Nepārtrauktas funkcijas. Nepārtrauktu funkciju summa, starpība, reizinājums, dalījums, reizinājums ar skaitli un kompozīcija.

4) galvenās nepārtrauktu funkciju īpašības, to lietojums intervālu metodes pamatošanai.

Combinations
Nepārtrauktu funkciju summa, starpība, reizinājums, dalījums, reizinājums ar skaitli. Composition
Nepārtrauktu funkciju kompozīcija. Skaidrojums ar piemēru palīdzību.

Vispār par robežām atrodami materiāli

AP- Calculus Online
Daļa no īsa teorijas kursa, kas sastāv no 3 daļām:
1) Nākošo nodaļu apguvei nepieciešamo nodaļu atkārtojums (koordinātu plakne, taisnes vienādojums plaknē un lietas, kas ar to saistītas, funkcijas un to grafiki, trigonometrijas atkārtojums, absolūtā vērtība).
2) Robežas un nepārtrauktība.
3) Atvasinājumi.
Nodaļa Limits and Continuity Robežas un nepārtrauktība.
ietver gan intuitīvu robežas definīciju, gan robežas īpašības ar piemēriem, gan vienpusējās robežas, gan robežas gadījumiem, kad x tiecas uz bezgalību, bezgalīgas robežas, pirmo ievērojamo robežu, nodaļas par funkciju nepārtrauktību un formālās robežu definīcijas.
Calculus
Materiāls matemātiskajā analīzē: robežas, atvasināšana, integrāļi, tuvināti aprēķini. Tikai teorētisks materiāls un formulas. Nav ne pierādījumu, ne piemēru.
Calculus Applied to the Real World
Mācību materiāli par matricu lietošanu vienādojumu sistēmu risināšanā, varbūtību teorijas elementiem, atvasinājumiem, robežām, integrāļiem. Ir teorija, daži uzdevumi ar iespēju izvēlēties pareizo atbildi un interaktīvie materiāli, kas ilustrē teorētisko materiālu. (Ne par visām tēmām). Lai materiālu redzētu, vajag vismaz Netscape 3.0.
Par robežām ir nodaļā Limits and Continuity, kas savukārt satur 3 nodaļas:
Estimating Limits Numerically
Ar skaitliskiem piemēriem parādīta robežu aprēķināšana. Ir vingrinājumi testa veidā, bet tiem atbildes var redzēt tikai, ja ir ieiets "rāmju" režīmā, jo tās tiek rādītas citā lodziņā.
Estimating Limits Graphically
Robežu novērtēšana ar grafiku palīdzību. Ir daudz attēlu un ļoti uzskatāmi ar kustīgu attēlu parādīts, kā tas jādara. Ir vingrinājumi testa veidā, bet tiem atbildes var redzēt tikai, ja ir ieiets "rāmju" režīmā, jo tās tiek rādītas citā lodziņā. ("Rāmju" režīmā automātiski ieiet, ja iet caur Limits and Continuity lapu.)
Calculating Limits Algebraically
Jēdziens par nepārtrauktību un dažu robežu aprēķināšana nenoteiktības ““ gadījumā.
DAU Math Refresher
Materiāls domāts vidusskolas matemātikas kursa atkārtošanai. Ir gan teorija, gan vingrinājumi testu veidā. Teorijas izklāsts ir patīkams. Tas ir koncentrēts, tomēr satur arī piemērus. Šajā materiālā par robežām ir sekojoša nodaļa:
Limits
Tā ietver robežas definīciju, īpašības un materiālus par asimptotām.
Problems with solutions
No šīs lapas var atrast uzdevumus ar detalizētiem atrisinājumiem par robežām, nepārtrauktību un ne tikai.
CALCULUS.ORG - Sample Exams .
No šīs lapas var redzēt eksāmena uzdevumu paraugus par robežām un atvasinājumiem, kā arī viena eksāmena uzdevumu paraugu ar atrisinājumiem.
Demonstrations and experiments.
Lapa satur skolotājiem domātus padomus, kā veikt demonstrējumus, kas palīdzētu skolēniem saprast robežas un atvasinājuma jēdzienu.
Limits of Functions
Materiālā īsi apskatīti jēdzieni par vienpusējām robežām, robežu īpašībām, nenoteiktību novēršanu (ar piemēriem) un nepārtrauktību. Materiāla beigās ir tests, kur prasīts no 5 piedāvātām atbildēm izvēlēties pareizo robežas vērtību.
Limit
Robežas definīcija.
Continuous Function
Nepārtrauktas funkcijas definīcija un īpašības.
Šie ir nodaļas no liela materiāla - enciklopēdijas, katrā nodaļā ir minēti saistītie temati, var arī izvēlēties visu tematu alfabētisko sarakstu vai sadalījumu pa matemātikas nozarēm. Visur ir tikai svarīgākais, bet tas ir uzskatāmi, ja vajag definīcijas un būtiskās īpašības.

Atpakaļ uz Latvijas vidusskolas matemātikas kursa iedalījumu.
Uz ievada lapu.