Skaitļi

Uzspiežot te, varat redzēt, kas par skaitļiem jāzina Latvijas skolēniem. 
Pirmkārt minēšu Latvijā LIIS projekta ietvaros izveidotos materiālus. Tiem ir ievērojamas priekšrocības: tie ir latviešu valodā un veidoti speciāli Latvijas skolēniem.

Bez tam apskatīšu pasaules serveros atrodamos materiālus. Tie pārsvarā ir angļu valodā.

• 1.1. SKAITĻA JĒDZIENA ATTĪSTĪBA
• 1.2. AR REĀLO SKAITĻU KOPAS JĒDZIENU SAISTĪTIE JAUTĀJUMI
• 1.3. AR KOMPLEKSO SKAITĻU KOPAS JĒDZIENU SAISTĪTIE JAUTĀJUMI
• 1.4. AR VESELO SKAITĻU KOPAS JĒDZIENU SAISTĪTI JAUTĀJUMI,

• Vēsturiski materiāli par skaitļiem
• Interaktīvie materiāli par skaitļiem
• Uzdevumi par skaitļiem.
• Stundu plāni par skaitļiem.

1.1. SKAITĻA JĒDZIENA ATTĪSTĪBA

• Latvijas materiāli
  Ja neskaita "Vidusskolas algebras kursa informatīvi didaktiskās apdares nodaļu "Skaitļi"", kur ir pāris piemēri par šo tēmu un Algebra 10. klasei "PowerPoint" slaidos., kur ir tie paši piemēri un pāris teikumi kā šo tēmu vajag mācīt, latviski Internetā ir tikai viens materiāls: Teodora Cīruļa "Kompleksie skaitļi vidusskolā". Tā 1. nodaļas "Vienkāršākās darbības ar kompleksiem skaitļiem" 1. apakšpunkts "Skaitļu kopas paplašināšana" satur matemātiski precīzu un uzmanīgam lasītājam labi saprotamu izklāstu par naturālo skaitļu kopas pakāpenisku paplašināšanu par reālo skaitļu kopu. Te var atrast arī piemērus ar atrisinājumiem, vingrinājumus ar atbildēm un jautājumus paškontrolei.
• Ja ir doma paskatīties materiālus par skaitļiem vēsturiskā skatījumā, spiediet šeit.
  
• Algebra.

Šeit ir atrodamas tikai īsas definīcijas un īpašības. Apskatītas praktiski visas skolas algebras tēmas, tai skaitā skaitļi (naturāli, veseli, racionāli un iracionāli, reāli, kompleksi), tomēr tā kā to pašu viegli var uzzināt latviski, sevišķi noderīgs šis materiāls nez vai būs.
• Decimal Expansions Materiāli par reālo skaitļu decimālo pierakstu, naturālo skaitļu kopu kā reālo skaitļu kopas apakškopu, kā arī racionālo skaitļu kopu. Šiem materiāliem ir arī 3 līmeņu uzdevumi, kur vienkāršākie ir par skaitļu atlikšanu uz skaitļu ass, vidējie par daļskaitļu pārveidošanu decimāldaļās un otrādi, bet grūtākie par iracionāliem skaitļiem.
• The Zero Saga

Materiāls par skaitli 0. Diezgan garš teksts angļu valodā, bet interesants. Ir arī norādes uz citiem materiāliem, kas saistīti ar šo tēmu.

1.2. AR REĀLO SKAITĻU KOPAS JĒDZIENU SAISTĪTIE JAUTĀJUMI

• The Real Number Line, Interval Notation and Set Notation

Materiāls par reālo skaitļu asi, intervāla un kopas jēdzieniem. Ir labas ilustrācijas, kas palīdz saprast minētos jēdzienus. Ir vingrinājumi un iespēja paskatīties materiālu par dažādu skaitļu kopu nosaukumu vēsturi.
• Decimal Expansions

Materiāli par reālo skaitļu decimālo pierakstu, naturālo skaitļu kopu kā reālo skaitļu kopas apakškopu, kā arī racionālo skaitļu kopu.
• Intro.

Ievaduzdevumi.
• Mod.

Vidēji grūti uzdevumi.
• Adv.

Mazliet grūtāki uzdevumi par reāliem skaitļiem, nekā iepriekšējie.
• Discover the Real Number System

Interneta materiālu apkopojums. Nebūt ne visi ir par doto tēmu, kaut arī skaitās... 

1) reālo skaitļu salīdzināšana

2) reālo skaitļu decimālie tuvinājumi; jēdziens par darbībām ar reāliem skaitļiem

• Divas interaktīvas programmas:
  • Converting a decimal into a fraction , kas pārveido decimāldaļskaitli parastā daļskaitlī. Ja grib pārvērst periodisku decimāldaļskaitli, tad periods vienkārši jāuzraksta vismaz 2 reizes.
  • Converting a fraction into a decimal , kas pārveido daļskaitli par decimāldaļskaitli. Ir jāuzrāda, cik ciparu aiz komata grib redzēt. Atrisinājumā dalīšanas izteiksmes pieraksts ir visai īpatnējs, jo dalītājs tiek rakstīts pa kreisi no dalāmā. Beigās ir iespēja paskatīties, kā pareizi angliski nosauc iegūto rezultātu.
• Trīs interaktīvas programmas, kas paredzētas, lai apgūtu darbības ar skaitļiem, kas pierakstīti tādā formā kā piemēram 3,45×10⁴:
   
  • Multiply using Scientific Notation
  
  Paredzēta skaitļu reizināšanai. Ir divas lietotnes - vienā abi skaitļi ir normālformā, bet otrā - tikai viens no tiem.
  • Dividing numbers involving scientific notation
  
  Skaitļu dalīšana normālformā. Šeit ir trīs lietotnes, no kurām pirmajā abi skaitļi paredzēti normālformā, otrajā - tikai dalāmais, bet trešajā - tikai dalītājs.
  • Converting to and from scientific notation
  
  Šeit ir divas lietotnes, no kurām pirmā pārveido skaitli no normālformas uz parastu pierakstu, bet otrā - no parasta pieraksta normālformā.
• Tiešā režīma programmiņas par darbībām ar daļskaitļiem.
  • Reducing a fraction to lowest terms
  
  Programmiņa daļskaitļu saīsināšanai, atrodot skaitītāja un saucēja lielāko kopīgo dalītāju.
  • Adding two fractions
  
  Programmiņas daļskaitļu saskaitīšanai. Šajā lapā ir trīs formas: vienā saskaita parastus daļskaitļus, otrajā jauktu daļskaitli ar parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu formu.
  • Subtracting two fractions
  
  Programmiņas daļskaitļu atņemšanai. Šajā lapā ir trīs formas: vienā atņem parastus daļskaitļus, otrā - no jaukta daļskaitļa parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu formu.
  • Multiplying two fractions
  
  Programmiņas daļskaitļu reizināšanai. Šajā lapā ir trīs kolonnas: vienā reizina parastus daļskaitļus, otrajā jauktu daļskaitli ar parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu kolonnu.
  • Dividing two fractions
  
  Programmiņas daļskaitļu dalīšanai. Šajā lapā ir trīs kolonnas: vienā dala parastus daļskaitļus, otrajā jauktu daļskaitli ar parastu, bet trešajā - jauktus daļskaitļus. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu kolonnu.
  • Converting between improper fractions and mixed numbers, or the other way around.
  
  Šī programmiņa pārveido neīstu daļskaitli jauktā skaitlī un otrādi. Vienlaicīgi drīkst aizpildīt tikai vienu formu.

3) jēdziens par reālo skaitļu kopas nepārtrauktību un ekvivalenci ar taisnes punktu kopu

4) dažu iracionālu skaitļu atlikšana uz koordinātu taisnes, izmantojot Pitagora teorēmu

5) reālā skaitļa modulis

6) reālo skaitļu intervālu jēdziens

1.3. AR KOMPLEKSO SKAITĻU KOPAS JĒDZIENU SAISTĪTIE JAUTĀJUMI

• Pirmkārt kā noderīgāko gribu minēt LIIS ietvaros izstrādāto Teodora Cīruļa darbu Kompleksie skaitļi vidusskolā. Ievads.

(Šis links ir uz 1. nodaļu. Lai dabūtu redzēt nākošās, kad atvērta 1. nodaļa, spiediet uz "Nākamais". Ja jau iepriekš zināt, uz kuru gribat tikt, varat izmantot tālākos linkus no šīs lapas.)
Darbs Internetā ir ievietots kā 4 daļas. Katra no šīm daļām satur vairākas apakšnodaļas. Sīkāks apraksts katrai no daļām:
• 1. nodaļa. Vienkāršākās darbības ar kompleksiem skaitļiem Šajā daļā ietilpst "1. Skaitļu kopas paplašināšana", "2. Komplekso skaitļu definīcija" un "3. Kvadrātsaknes atrašana no kompleksā skaitļa".

1. punktā ir runa par naturālo skaitļu kopas pakāpenisku paplašināšanu par reālo skaitļu kopu. Izklāsts ir ne tikai matemātiski precīzs, bet arī labi saprotams uzmanīgam lasītājam.
2. punkts satur ne tikai kompleksā skaitļa definīciju, bet arī to vienādības, moduļa aprēķināšanas un darbību (saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas) definīcijas un īpašības.
3. punktā ir kvadrātsaknes definīcija un pierādītas aprēķināšanas formulas.
Katra apakšnodaļa satur definīcijas un vajadzīgos pierādījumus, piemērus ar atrisinājumiem, vingrinājumus ar atbildēm, jautājumus paškontrolei par teorētisko vielu. Nodaļas beigās ir uzdevumi patstāvīgam darbam. Tiem nav uzrādītas atbildes.
• Komplekso skaitļu ģeometriskā interpretācija

Šajā daļā ietilpst "1. Kompleksie skaitļi kā punkti Dekarta koordinātu plaknē", "2. Kompleksie skaitļi kā brīvi vektori plaknē", "3. Komplekso skaitļu darbību vektoriālā interpretācija", "4. Divu vektoru pseidoskalārā reizinājuma interpretācija ar kompleksiem skaitļiem" un "5. Dažas piezīmes par komplekso skaitļu ģeometriskās interpretācijas lietojumiem".
Šajā nodaļā izklāsts ir koncentrēts, tomēr satur gan piemērus ar atrisinājumiem, gan jautājumus kontrolei, gan arī vingrinājumus un uzdevumus patstāvīgam darbam.
• Komplekso skaitļu trigonometriskā forma un eksponentforma

Šajā daļā ietilpst "1. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma", "2. Trigonometriskajā formā dotu komplekso skaitļu reizināšana un dalīšana", "3. Saknes vilkšana no kompleksa skaitļa" un "4. Komplekso skaitļu eksponentforma".
Šī nodaļa satur gan teorētisko materiālu ar pierādījumiem, gan piemērus un uzdevumus ar atrisinājumiem, gan arī jautājumus un uzdevumus patstāvīgajam darbam.
• Iepriekšējās nodaļas turpinājums Šajā daļā ietilpst "5. Komplekso skaitļu eksponentformas lietojumi trigonometrijā" un "6. Komplekso skaitļu eksponentformas lietojumi ģeometrijā".

Te var atrast uzdevumus ar atrisinājumiem, kā arī patstāvīgam darbam domātos - bez tiem.
• Complex shoot

Interaktīvs materiāls, lai apgūtu komplekso plakni un darbības ar kompleksajiem skaitļiem. Var izvēlēties uzdevuma grūtības pakāpi vai uzdevuma veidu un sērijā piedāvāto uzdevumu skaitu. Uzdevumos ir redzams kompleksā plaknē attēlots skaitlis z un izteiksme skaitļa w iegūšanai (vieglākajos variantos w=z/2 un tamlīdzīgas izteiksmes, bet grūtākajos w=-z²/i un līdzīgas), lietotājam ar peli jāuzklikšķina tajā punktā, kur pēc viņa domām atrodas skaitlis w. Pēc tam tiek parādīts, kur ir pareizā atbilde, kur bija klikšķināts, kā arī kļūda milimetros. Sērijas beigās tiek dots vērtējums.
SQRT shoot
Interaktīvs materiāls, lai apgūtu komplekso plakni un saknes vilkšanu no kompleksajiem skaitļiem. Var izvēlēties uzdevuma grūtības pakāpi. Vieglākās grūtības pakāpes uzdevumos ir jāprot izvilkt kvadrātsakni, attēlā ir redzams vienības riņķis, kas palīdz atrast pareizo skaitļa atrašanās vietu. 3. un 4. līmenī ir jāprot izvilkt kubsakni, 4. līmenī nav uzzīmēts vienības riņķis, tikai atliktas vienības iz asīm. 5. līmenī ir jāvelk 4. pakāpes sakne, bet 6. līmenī - 5. pakāpes sakne. Kad ir uzklikšķināts vienas saknes atrašanās vietā, parādās grafiks, kur šī vieta ir atzīmēta ar krustiņu un ir jāuzklikšķina otras saknes atrašanās vietā. Saprotams, kubsaknei ir jāklikšķina 3 reizes utt. Beigās tiek parādītas visas vietas, kur ir klikšķināts, visas pareizās vērtības un novērtēta atbilde.
Complex No. Applet
Interaktīva programma, ar kuras palīdzību var apgūt komplekso skaitļu attēlošanu plaknē. Lietotnes apakšā ir pogas, atkarībā no tā, kura no tām pēdējā nospiesta, tiek mainīts attēls, kad uzklikšķina uz zīmējuma. Var mainīt:
 
• koordinātu sākumpunkta atrašanās vietu, ja uzspiež uz "Move 0" un tad uzklikšķina tajā ekrāna punktā, kur to grib novietot,
• mērogu, ja uzspiež uz "Move 1" un tad uzklikšķina tajā grafika punktā, kur grib redzēt r=1,
• punkta A vai punkta B atrašanās vietu, ja uzspiež uz "Move A" vai "Move B", un tad uzklikšķina tajā grafika punktā, kur grib attiecīgo punktu redzēt,
• sakarību starp A un B, ja uzspiež uz "B=1/A", "B=-A" vai "B=A**N" (pēdējais nozīmē B=A^N, apakšā ir lodziņš, kurā ieklikšķinot var ierakstīt N vērtību),
• izteiksmi, ar kuras palīdzību aprēķina C, ko arī var redzēt attēlotu, ja uzspiež uz "C=A*B", "C=A/B", "C=A+B" vai "C=A-B",
• var izvēlēties, vai leņķi tiek uzrādīti radiānos vai grādos (apakšējā labajā stūrī jāieliek punktiņš pirms Radians vai attiecīgi Degrees),
• var izvēlēties, vai A un B (un, ja ir, tad arī C) koordinātas tiek uzrādītas kā polārās, Dekarta koordinātas, vai kā kompleksi skaitļi (apakšējā kreisajā stūrī jāieliek punktiņš pirms Polar, Rectangular vai Complex).
Saskaņā ar Jūsu uzstādītajiem parametriem kreisajā augšējā stūrī ir redzamas A, B un C (ja ir) vērtības, bet zīmējumā - šo punktu atrašanās vieta. Ekrāna labajā malā ir redzamas polārās un Dekarta koordinātas tam punktam, kurā tiek uzklikšķināts ar peli.
• Materiāls par kompleksiem skaitļiem, kas satur teoriju, piemērus un dažus vingrinājumus, kam var paskatīties atrisinājumus. Šis materiāls satur 4 nodaļas:

Basic Definitions and Arithmetic - definīcijas un aritmētika,
The Complex Plane - kompleksā plakne,
The Polar Form of a Complex Number - kompleksās plaknes polārā forma,
Euler's Formula - Eilera formula.
• Complex Numbers

teorētisks materiāls par kompleksiem skaitļiem.
• Intro.

Ievaduzdevumi.
• Mod.

Vidēji grūti vingrinājumi.
• Adv.

Mazliet grūtāki uzdevumi nekā iepriekšējie.
• Number and Algebra

Honkongā veidots materiāls, kur apskatīts vairums matemātikas tēmu un kas satur norādes uz citiem materiāliem par katru no tēmām. Šī materiāla punkts 1.5. satur precīzas norādes uz dažiem citiem materiāliem par kompleksajiem skaitļiem.
• An introduction to complex numbers

Ievads kompleksajos skaitļos. Vienkāršā valodā veidots materiāls, ir vajadzīgās formulas un nepieciešamie zīmējumi, lai cilvēks, kas neko iepriekš nav zinājis par kompleksajiem skaitļiem, varētu apgūt gan to, kas tie ir, gan darbības ar tiem. Materiāls satur šādas nodaļas:
kompleksie skaitļi (kāpēc nepietiek ar reālajiem skaitļiem, komplekso skaitļu definīcija, to attēlošana, vienādi kompleksie skaitļi, komplekso skaitļu summa, komplekso skaitļu reizinājums, apzīmējumi, pretēji kompleksie skaitļi, komplekso skaitļu atņemšana, kompleksi saistītais skaitlis, kompleksa skaitļa modulis),
Struktūra C,+,. (šajā nodaļā ir tikai pateikts, ka var pierādīt, ka struktūra C,+,. ir lauks un parādītas komplekso skaitļu reizināsanas un dalīšanas kārtulas),
Kvadrātsaknes un kompleksie skaitļi (kvadrātsakne no reāla pozitīva skaitļa, no reāla negatīva skaitļa un no kompleksa skaitļa, kas nav reāls),
Komplekso skaitļu trigonometriskā forma (kompleksa skaitļa modulis un arguments, kompleksa skaitļa trigonometriskā forma, vienādi kompleksie skaitļi, reizinājums, saistītie skaitļi, apgrieztais kompleksais skaitlis, komplekso skaitļu dalījums trigonometriskajā formā, kompleksa skaitļa naturāla pakāpe, Muavra formula, kompleksa skaitļa pakāpe ar negatīvu kāpinātāju, kompleksa skaitļa n-tās pakāpes sakne),
Polinomi un kompleksie skaitļi (īpašības, Dalambēra teorēma, algebriska vienādojuma sakņu skaits, saknes polinomiem ar reāliem koeficientiem, šādu polinomu sadalīšana reizinātājos, algebriska vienādojuma sakņu summa un reizinājums).
• Complex Numbers, A Geometric View

Daļa no materiāla par trigonometriju un kompleksajiem skaitļiem. Te gan ir daudz lietota komplekso skaitļu eksponentforma, kas nav paredzēta aplūkot vidusskolas kursā. Tomēr materiālā ir paskaidrojumi ar attēliem, ir pieejami vingrinājumi (adresē http://www.thiel.edu/mathproject/CNAT/Chap2/ExC2S456.htm), tāpēc tie, kas grib pamācīties papildus, šo var lietot.

1.4. AR VESELO SKAITĻU KOPAS JĒDZIENU SAISTĪTI JAUTĀJUMI

1) Dalāmības definīcija.

2) Dalāmības īpašības.

3) Dalīšanās ar atlikumu.