2x2=?

LATVIJAS UNIVERSITĀTE Fizikas un Matemātikas Fakultāte Vispārīgās matemātikas katedra Agnis Andžāns Uldis Kanders

IEVADA VIETĀ:

STUDIJU KURSA MĒRĶI UN UZDEVUMI

Kāpēc mēs izvēlējāmies matemātiku un kāpēc tieši matemātisko indukciju laikā, kad sabiedrībā augstu popularitāti piedzīvo ekonomika un finanses? Atbilde nav jāmeklē tālu augstās un abstraktās sfērās, bet tepat mums visapkārt un mūsu ikdienas lietās, un mūžīgajās vērtībās, kas stāv pāri tirgus konjunktūras svārstībām. Mūsdienu cilvēki nodarbojas ar visdažādākajām lietām - sēj labību un ievāc ražu, būvē ēkas un mašīnas, rok tuneļus zem jūras šaurumiem un lido kosmosā, skaita naudu un kreditē projektus, sacer mūziku un glezno. Tomēr maz būs tādu nopietnu darbības lauku, varbūt vienīgi vēl sapņošana, kurā netiek kaut kas uzskaitīts, saskaitīts, izmērīts, saciparots, salīdzināts utt. Tātad runa iet par reālās dzīves reālu objektu (priekšmetu un parādību) īpašību kvalitatīvu un kvantitatīvu aprakstu un analīzi. Lietu būtība vislabāk nereti atklājas vispārīgā abstraktā veidā, piemēram, "viens ābols bez ābola ir 1". Tadējādi, risinot savas ikdienas problēmas vidažādākajās nozarēs, mēs dabiskā ceļā nonākam pie matemātikas. Tādu pieeju lietu būtības izzināšanā zināmā mērā jau praktizējuši sengrieķu matemātiķi kā Arhimēds un Apolonijs un kas daudz dziļākās konsekvencēs tiek turpināts mūsdienās. Nemaz nerunājot par informātiku, ekonomiku, inženierzinātnēm un citām precīzajām nozarēm, pat mūzika un vizuālā māksla (krāsas un attēli) tiek saciparota un pārvērsta par skaitļu virknēm, kuras ērti glabāt uz CD diskiem. Mūsdienu ciparu jeb digitālajā laikmetā matemātika kļuvusi gandrīz par katras nozares mugurkaulu, kura nozīmība jo dienas jo pieaug. Tātad reālo objektu īpašības tiek izteiktas ar skaitļiem vai ar skaitļu virknēm, kas tādējādi kļūst pieejamas matemātiskai analīzei un tālākai apstrādei ar datortehnoloģiju. Savukārt matemātiskā indukcija, kuras pētīšanas objekts ir skaitļi un to īpašības, māca, kā no atsevišķiem konkrētiem faktiem un secinājumiem nonākt līdz vispārīgiem slēdzieniem un apgalvojumiem.

Daudzās augstāk minētajās nozarēs studentiem ir svarīgi attīstīt spēju, kā konkrētus, bet fragmentārus faktus vispārināt un kā tajos saskatīt vispārīgas likumsakarības. Matemātiskā indukcija, operējot galvenokārt ar objektu "būtiskajām pusēm", t.i., skaitļiem un to īpašībām, kalpo par instrumentu tam, kā nonākt līdz vispārīgiem apgalvojumiem, tā parāda šādu slēdzienu un spriedumu "taisīšanas" tehnoloģiju.

STUDIJU KURSS UN TĀ KLAUSĪTĀJI

Studiju kurss pēc apjoma ir regulārs 2 kredītu punktu kurss (32 audit. st.). Tā sekmīga apguve prasa atbilstošu patstāvīgā darba apjomu (līdz 48 st.). Grūtības pakāpe ir rūpīgi sabalansētā ar vispārizglītojošo skolu vecāko klašu izglītības standartu. Tas nozīmē, ka no kursa klausītāja netiek prasītas specifiskas matemātikas priekšzināšanas, bet kursa sekmīgai apguvei ir pietiekami labi pārzināt 10.-12.klašu vielu matemātikā. Šādā sakarā dotais studiju kurss ir pieejams plašam klausītāju lokam

Studiju kursā aplūkotie jautājumi par matemātiskās indukcijas metodi pēdējos gados netiek iekļauti vispārizglītojošās skolas mācību programmā skolēnu noslogotības dēļ (vairumā skolu 35-40 audit. st. nedēļā), lai gan matemātikas pamatu izpratnē tiem ir ļoti liela nozīme. Tāpēc dotā studiju kursa mērķis ir aizpildīt šo "robu" mācību programmās. Vidusskolu skolotājiem un docētājiem ieteicams ar šajā kursā aplūkotajiem jautājumiem iepazīstināt iespējami vairāk skolēnu un studentu, jo matemātiskā indukcija ir "lielās aritmētikas" pamatu pamats.

Studiju kursu patstāvīgām studijām var izmantot skolotāji, fakultatīvo nodarbību un matemātikas pulciņu vadītāji un dalībnieki, skolēni un studenti, kas padziļināti apgūst matemātiku. Studiju kurss ieteicams skolēniem, kas gatavojas matemātikas olimpiādēm, kā arī Neklātienes matemātikas skolu audzēkņiem.

PAR STUDIJU KURSA ELEKTRONISKO VERSIJU

Jaunas mācību grāmatas sagatavošana un izdošana tehniski un finansiāli ir sarežģītāk nekā atbilstoša studiju kursa elektroniskās versijas izstrādāšana. Studiju kursa elektroniskā versija, kas pašreiz atrodas tapšanas stadijā, tiek izstrādāta, balstoties uz prof. A.Andžāna agrāk publicētajiem darbiem par doto tēmu. Kursa klausītāju radošajai kritikai tiek nodota elektroniskā kursa Versija3.0. Tāpat kursa klausītāji tiek aicināti piedalīties studiju kursa tālākajā izveidē un uzlabošanā. Datortehnoloģijas attīstība un modernie telekomunikāciju līdzekļi kā datortīkli ļauj minēto studiju kursu "ienest" ne tikai katrā skolā, bet katra skolēna dzīvoklī, kam ir INTERNET pieslēgums. Klausītājiem, kuriem vēl nav INTERNET pieslēgums, studiju kursa elektroniskā versija ir pieejama arī uz 3,5"-disketes. Studiju kursa elektroniskās versijas autori paliek pārliecībā, ka jaunā "MATEMĀTISKĀS INDUKCIJAS METODE" elektroniskā versija globālajā datortīklā INTERNET ievērojami palielinās kursa klausītāju auditoriju un padarīs kursa saturu pārskatāmāku un vieglāk uztveramu. Tāpat studiju kursa autori patur tiesības laiku pa laikam izdarīt izmaiņas pašā tekstā un tekstuālā materiāla izkārtojumā, ņemot vērā klausītāju priekšlikumus un ierosinājumus.

STUDIJU KURSA IEDALĪJUMS PA NODAĻĀM.

Studiju kursa nodaļas ir izkārtotas secīgi tā, ka dotās nodaļas satura izklāsts zināmā mērā balstās uz iepriekšējās nodaļās iztirzāto. Ja kursa klausītājs ir iecerējis apgūt visu nodaļu saturu, tad ieteicams to labāk darīt secīgi pa nodaļām no 1-12. Tomēr tas nenozīmē, ka nebūtu iespējamas studijas izvēles kārtībā, kur kursa nodaļas tiek izraudzītas citādi, piem., atbilstoši problemātikai, kas klausītājam dotajā brīdī ir aktuālāka.

Pirmajās divās nodaļās (1.-2. nod.) aplūkots problēmu loks, kuru risināšana dabiskā veidā atklāj nepieciešamību attīstīt specifisku matemātisku metodi minēto un līdzīgu apgalvojumu pierādīšanai, kas noved pie matemātiskās indukcijas metodes pamatnostādņu formulēšanas. Principiāli svarīgākā ir trešā nodaļa (3. nod.), kurā tiek formulēts matemātiskās indukcijas princips. Savukārt 4.-8. nodaļās aplūkoti dažādi matemātiskās indukcijas principa vispārinājumi vai, gluži pretēji, speciāli gadījumi, kas seko kā matemātiskās indukcijas principa atvasinājumi. 9. nodaļā - iztirzātas visraksturīgākās šo principu pielietošanas kļūdas. 10.-12. nodaļās ar daudzu piemēru palīdzību parādīti matemātiskās indukcijas metodes pielietojumi, kā arī tiek diskutēta matemātiskās indukcijas metodes nozīme matemātikā vispār. Plašais uzdevumu klāsts katras nodaļas beigās (izņemot 9. nodaļu) paredzēts klausītāju paškontrolei. Ja klausītāji būs rūpīgi iepazinušies ar dotās nodaļas saturu un tur iztirzātajiem piemēriem, tad nevajadzētu rasties lielām grūtībām, risinot paškontrolei piedāvātos uzdevumus.

PASKAIDROJUMI, APZĪMĒJUMI UN MĀJIENI

Studiju kursa nodaļās iekļautie uzdevumi paškontrolei iezīmēti ar dažādām speciālām zīmēm, lai norādītu uz to optimālāko pielietošanas veidu. Vairāki uzdevumi un piemēri iezīmēti ar sekojošām zīmēm, kas minētas zemāk:

! - materiāls, kas būtiski svarīgs satura izpratnei un ko klausītājam ieteicams rūpīgi izstudēt un piedāvātos uzdevumus un problēmas vajadzētu censties apgūt;

* - grūtākie uzdevumi un tēmas patstāvīgiem padziļinātiem pētījumiem tiem klausītājiem, kam nesagādā grūtības !-kategorijas uzdevumu atrisināšana;

o - materiāls, uz kuru autori atsaucas turpmākajā tekstā, tāpēc arī šos uzdevumus vēlams neatstāt bez uzmanības. Ar [x] apzīmēts lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz x, piemēram, [4]=4, [3,5]=3, [-1,2]=-2. Savukārt ar éxù apzīmēts mazākais veselais skaitlis, kas nav mazāks par x, piemēram é4ù = 4; é3,5ù = 4; é1,2ù =-1.

Katra studiju kursa nodaļa iesākas ar īsu anotāciju, kurā tiek prognozēts rezultāts, ko klausītājs ar lielu garantiju sasniegs pēc dotās nodaļas satura apguves. Tālāk seko problēmas nostādne un īss teorētisks iztirzājamās vielas izklāsts, kas papildināts ar daudziem atrisinātiem piemēriem. Atrisinātie uzdevumi un problēmas ilustrē jēdzienu un teorēmu lietošanu, kā arī dod tehnoloģiju (metodoloģisko pamatu) un ievirzi paškontroles uzdevumu patstāvīgai risināšanai. Paškontroles uzdevumiem nav doti atrisinājumi dotās WWW-lapas ietvaros ar nolūku, lai nekārdinātu klausītāju un netraucētu viņam pašam pārbaudīt savus spēkus. Tomēr, ja to atrisināšana sagādā grūtības, kursa klausītāji var saņemt gandrīz on-line palīdzību ar elektroniskā pasta starpniecību pēc adreses <agnis@lanet.lv>. Tātad kursa klausītājam uz šo adresi jāaizsūta viņu interesējošā problēma vai jautājums no paškontroles uzdevumu sadaļas, uz kuru nekavējoši tiks atbildēts, dodot ievirzi uzdevuma risinājumam vai kādu citu skaidrojumu. Vairāki uzdevumi no plašā doto paškontroles uzdevumu klāsta noder skolēnu un studentu zinātniskās biedrības darbam.

Katras nodaļas nobeigumā, izņemot 1., 8.-10. un 12. nodaļu, ir dots īss literatūras apskats. Nodaļu literatūras apskatos pastāstīts arī par neatrisinātām matemātikas problēmām. Turpat ir dota iespēja atvērt literatūras sarakstu kā 13. nodaļu, lai uzzinātu pieminētos izziņu avotus. Cita hipersaite ļauj ērti atgriezties uz satura rādītāju dotā kursa mājas lapā. Tāpat hipersaites ir izveidotas no dotās nodaļas uz nākošo vai iepriekšējo nodaļu. Alfabētiskais priekšmetu rādītājs ļauj noskaidrot specifisku matemātisku jēdzienu un kategoriju nozīmi, vai konkrētas teorēmas pierādījumu. Hipersaites ļauj nokļūt tieši uz to nodaļu un uz to lapas vietu, kur specifiskais termins ir paskaidrots. Tādējādi tiek nodrošināta ērta ceļošana pa visu studiju kursu turp un atpakaļ - no jebkuras nodaļas uz jebkādu citu nodaļu.

Dotā tālmācības kursa izveidošanas grupa ir sagatavojusi priekšlikumus par dotā kursa iekļaušanu augstskolu jau oficiāli reģistrētajās studiju programmās. Vienu no šādiem priekšlikumiem kursa izveidošanas grupa gatavojas iesniegt, piemēram, LU Matemātikas zinātņu studiju programmas direktoram kā B- vai C-kategorijas studiju kursu. Atkarībā no dotā tālmācības studiju kursa reģistrācijas vienā vai citā studiju programmā, tiks organizēta atbilstoša klausītāju reģistrācija uz šo kursu, atbilstoša atbalsta sistēma, kas ietvers vēl operatīvākus on-line konsultācijas punktus, kā arī zināšanu pārbaudi pēc vienas vai citas tehnoloģijas (klātienē mutisks un/vai rakstisks vai neklātienē rakstisks un/vai elektronisks eksāmens) pēc kursa apgūšanas. Pēc sekmīgas pārbaudījumu izturēšanas kursa klausītājs saņems sertifikātu par iegūtajiem kredītpunktiem un apgūto tematiku.

SATURA RĀDĪTĀJS PA NODAĻĀM (1.-14.)

1.	ATSEVIŠĶI UN VISPĀRĪGI APGALVOJUMI
2.	ATSEVIŠĶU APGALVOJUMU PAKĀPENISKA PIERĀDĪŠANA
3.	VIENKĀRŠĀKĀS INDUKCIJAS SHĒMAS (Matemātiskās indukcijas princips - MIP)
4.	SAREŽĢĪTĀKAS VIENDIMENSIONĀLAS (VIENVIRZIENA) INDUKCIJAS SHĒMAS
5.	DIVVIRZIENU INDUKCIJAS SHĒMAS (Induktīvā pāreja "atpakaļ")
6.	PASTIPRINĀTU APGALVOJUMU PIERĀDĪŠANA. PARALĒLĀ INDUKCIJA
7.	DIVDIMENSIONĀLĀ INDUKCIJA
8.	SAREŽĢĪTA INDUKCIJAS PARAMETRA IZVĒLE
9.	PAREIZU APGALVOJUMU KĻŪDAINI PIERĀDĪJUMI UN OTRĀDI (UZMANĪBU- SLIDENS !)
10.	INDUKCIJA ATSEVIŠĶU APGALVOJUMU PIERĀDĪŠANĀ
11.	INDUKCIJAS IZMANTOŠANA ALGORITMU PAREIZĪBAS PIERĀDĪŠANĀ
12.	DAŽĀDI INDUKCIJAS METODES PIELIETOJUMI
13.	LITERATŪRAS SARAKSTS
14.	ALFABĒTISKAIS PRIEKŠMETU RĀDĪTĀJS

---

Par MIM Versiju3.0

---

Studiju kursa elektroniskā versija tiek izstrādāta pēc tālmācības tehnoloģijas un pašreiz atrodas vēl pilveidošanas stadijā. Kursa klausītāju radošajai kritikai tiek nodota kursa Versija3.0. Tāpat kursa klausītāji tiek aicināti piedalīties studiju kursa tālākajā izveidē un uzlabošanā.

---

STUDIJU KURSA ELEKTRONISKĀS VERSIJAS IZVEIDOŠANAS DARBA GRUPA

Studiju kursu veido Latvijas Universitātes (LU) Fizikas un matemētikas fakultātes, LU Cietvielu Fizikas institūta un LU Ķīmijas fakultātes docētāji, maģistranti un studenti. Kursa izveidi konsultē arī LU un RTU Tālmācības Studiju centri, kā arī LR Izglītības un Zinātnes ministrijas LTC (Latvijas Tālmācības centra) darbinieki. Atsaukties ar ierosinājumiem un aizrādījumiem vai gatavību līdzdarboties kursa tālākā izstrādāšanā un pilnveidošanā tiek aicināts katrs interesents. Savus ieteikumus dotā kursa sakarā lūdzam adresēt darba grupas vadītājam Dr.Fiz. U.Kanderam pa sekojošiem sakaru kanāliem:

Dr.Fiz. Uldis Kanders

---

Latvijas Universitātes

Cietvielu Fizikas institūts

Ķengaraga ielā 8, LV-1063, Rīga, Latvija

Darba telefons 7187659, Mājas telefons 7283912

Fax 7112583 vai 7283912

Elektroniskais pasts: <kanders@com.latnet.lv> vai <kanders@cfi3.lu.lv>

Dr.Phys. Uldis Kanders

---

Institut of Solid State Physics

University of Latvia

8 Kengaraga St., LV-1063. Riga, Latvia

Phone: Office 7187659, Home 7283912

Fax 7112583 or 7283912

E-mail: <kanders@com.latnet.lv> vai <kanders@cfi3.lu.lv>

---